Vettore trasformato

[kobeilprofeta]

Ho questo problema

1
Un vettore aleatorio (X; Y ) ha la seguente densità di probabilità
$f_{(X,Y)}(x,y) = kx^{−3}*1_{[1;+\infty)×[0;x]}(x,y), k in RR$
Dopo aver determinato la costante k, rispondere ai seguenti. quesiti
1.a. Determinare le densità marginali $f_X$ e $f_Y$ . Le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti?
1.b. Consideriamo il vettore aleatorio trasformato (U; V ) = g(X; Y ) = (Y; X − Y ).
Determinare la densità di probabilità congiunta f(U;V ).
1.c Le variabili aleatorie U e V sono indipendenti?

Qua quello che ho fatto

mi viene $k=1$, poi
1.a
$f_X=\int_0^x f_{(X,Y)} dy=frac{1}{x^2}$
$f_Y=\int_1^{+\infty} f_{(X,Y)} dx=1/2$
Per l'indipendenza moltiplico le due marginali e guardo se viene la congiunta. Quindi $frac{1}{x^2}*1/2!=frac{1}{x^3}$ => non indipendenti
1.b 1.c
$f_U=f_Y$
$f_V$ e $f_{(U,V)}$ non mi viene in mente

Mi riuscite a dare una spinta? Grazie.

[Lo_zio_Tom]

iniziamo dal primo punto. Condizione necessaria affinché le variabili siano indipendenti è che il dominio sia rettangolare. Quindi le variabili qui non sono indipendenti e lo si vede dal dominio senza fare conti


$f(x)$ ok

$f(y)$ no.....


$f(x)=int_(1)^(x) f(x,y)dy$

$f(y)=..$

1.b) si fa un cambio di variabili (jacobiano ecc ecc)

[kobeilprofeta]

Giusto, quindi per $f_Y$ integro da y a infinito e ottengo $f_Y=frac{1}{2y^2}$

[Lo_zio_Tom]

azzz...avevo visto male....avevo visto $x in [0;+oo)$ invece è $x in [1;+oo)$
ora correggo la soluzione

[kobeilprofeta]

"tommik":
1.b) si fa un cambio di variabili (jacobiano ecc ecc)

${(u=y),(v=x-y):}$
${(x=u+v),(y=u):}$
$J=|det((1 1),(1 0))|=|-1|=1$
$f_{U,V}=f_{X,Y}(u+v,u)*J=frac{1}{(u+v)^3}$
$f_V=\int_{}^{}frac{1}{(u+v)^3} du$ che non so fare tra l'altro

[Lo_zio_Tom]

la $f(y) $ come l'hai calcolata non va bene. Viene così:

$f_Y(y)-={{: ( 1/2 ,; 0<=y<1 ),( 1/(2y^2) , ;y>=1 ),( 0 , ; a l t r o v e ) :}$

e per calcolarla basta guardare il dominio di integrazione. Come puoi notare, per $01$ va bene come hai fatto tu.

dunque si fa così:

il problema è ricavare la marginale $f_V$ dalla congiunta $f_(UV)(u,v)=(u+v)^(-3)$

Prima di tutto notiamo che l'integrale che dici di non riuscire a calcolare è invece immediato:

$int(u+v)^(-3) du=(u+v)^(-2)/(-2)$ più una costante che non metto dato che il nostro integrale è definito.

La difficoltà sta nel capire come integrare su tutto il dominio di $u>0$

infatti notiamo che dalle condizioni poste abbiamo (ricorda che $v=x-y in R^+$)

${{: ( y=u >0),( x=u+v >1) :} rarr{{: ( u>0),( u>1-v ) :} rarr u>max{0;(1-v)}$

ora dovresti risolvere in autonomia

[kobeilprofeta]

Perfetto.

Tenchiu

[Lo_zio_Tom]

"kobeilprofeta":
Determinare la densità di probabilità congiunta f(U;V ).

hai determinato correttamente che $f_(UV)=1/(u+v)^3$ ma per rispondere alla domanda della traccia occorre anche determinarne il dominio....ovviamente