Vettore aleatorio, densità di probabilità congiunta
Sia $(X,Y)$ un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul parallelogramma individuato dalle rette $y=0, y=1, y=x, y=x-1$. Calcolare le funzioni di ripartizione marginali di $X$ e $Y$ e stabilire se gli eventi $E = {X
Fino al calcolo delle funzioni di ripartizione ci sono arrivata ottenendo i seguenti risultati:
$F_X(x)=\{(0,x<0),(x^2/2,0<=x<=1),(x^2/2-x,1<=x<=2),(1,x>2):}$
$F_Y(y)=\{(0,y<0),(y,0<=y<=1),(1,y>1):}$
Il mio problema è la valutazione dell'indipendenza stocastica tra $E$ ed $A$. Ho proceduto considerando le previsioni degli eventi $Prev(EA)$, $Prev(E)$ ed $Prev(A)$. Per valutare $Prev(EA)$ ho calcolato la funzione di ripartizione congiunta $F_{XY}(xy)=int_0^{\x}int_0^{\y}f_{XY}(xy)dxdy=xy=P(X<=x,Y<=y)$
e poi ho valutato così $Prev(EA)=int_0^{\x}int_0^{\y}xy*[F_{XY}(xy)-f_{XY}(xy)]dxdy=int_0^{\x}int_0^{\y}xy*(xy-1)dxdy$
Non so se sia corretto come passaggio. Successivamente ho proceduto analogamente per $Prev(E)$ ed $Prev(A)$ usando le funzioni di ripartizione e la funzioni di densità di probabilità marginali e alla fine ho valutato se $Prev(EA)=Prev(E)*Prev(A)$. Volevo capire se il ragionamento fatto è corretto o no.
Grazie per l'attenzione.
Fino al calcolo delle funzioni di ripartizione ci sono arrivata ottenendo i seguenti risultati:
$F_X(x)=\{(0,x<0),(x^2/2,0<=x<=1),(x^2/2-x,1<=x<=2),(1,x>2):}$
$F_Y(y)=\{(0,y<0),(y,0<=y<=1),(1,y>1):}$
Il mio problema è la valutazione dell'indipendenza stocastica tra $E$ ed $A$. Ho proceduto considerando le previsioni degli eventi $Prev(EA)$, $Prev(E)$ ed $Prev(A)$. Per valutare $Prev(EA)$ ho calcolato la funzione di ripartizione congiunta $F_{XY}(xy)=int_0^{\x}int_0^{\y}f_{XY}(xy)dxdy=xy=P(X<=x,Y<=y)$
e poi ho valutato così $Prev(EA)=int_0^{\x}int_0^{\y}xy*[F_{XY}(xy)-f_{XY}(xy)]dxdy=int_0^{\x}int_0^{\y}xy*(xy-1)dxdy$
Non so se sia corretto come passaggio. Successivamente ho proceduto analogamente per $Prev(E)$ ed $Prev(A)$ usando le funzioni di ripartizione e la funzioni di densità di probabilità marginali e alla fine ho valutato se $Prev(EA)=Prev(E)*Prev(A)$. Volevo capire se il ragionamento fatto è corretto o no.
Grazie per l'attenzione.
Risposte
EDIT: sì le FdR sono quasi giuste: $F_X=-x^2/2+2x-1$ per $1<=x<2$
Inoltre per maggiore precisione andrebbero definite continue da destra, tu hai fatto un mix
Per l'indipendenza dovresti verificare se $f_(XY)(x, y)=f_(X)(x)f_(Y)(y)$ oppure, nel caso degli eventi in oggetto, $F_(XY)(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$.
Cercare di verificare l'indipendenza di due variabili tramite i valori attesi è sbagliato. Infatti indipendenza implica incorrelazione ma non vale il viceversa.
Nel caso in esame tale verifica non serve: condizione necessaria per l'indipendenza è che il dominio sia rettangolare. Dato che il dominio è un parallelogramma puoi concludere immediatamente che non vi è indipendenza senza fare ulteriori conti.
PS: ho modificato il messaggio perché avevo letto male la definizione del dominio... avevo letto $x=0$ e $x=1$ invece di $y$
Mah.....dovrò cambiare occhiali
Inoltre per maggiore precisione andrebbero definite continue da destra, tu hai fatto un mix
Per l'indipendenza dovresti verificare se $f_(XY)(x, y)=f_(X)(x)f_(Y)(y)$ oppure, nel caso degli eventi in oggetto, $F_(XY)(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$.
Cercare di verificare l'indipendenza di due variabili tramite i valori attesi è sbagliato. Infatti indipendenza implica incorrelazione ma non vale il viceversa.
Nel caso in esame tale verifica non serve: condizione necessaria per l'indipendenza è che il dominio sia rettangolare. Dato che il dominio è un parallelogramma puoi concludere immediatamente che non vi è indipendenza senza fare ulteriori conti.
PS: ho modificato il messaggio perché avevo letto male la definizione del dominio... avevo letto $x=0$ e $x=1$ invece di $y$
Mah.....dovrò cambiare occhiali
Ti ringrazio per la risposta. Una sola cosa non mi è chiara: siccome ho risolto degli esercizi in cui anche con dominio rettangolare capitava che le variabili non fossero indipendenti, come può essere applicato quello che hai asserito in merito alla forma del dominio?
Infatti ho detto che il dominio rettangolare è condizione necessaria (ma non sufficiente) per l'indipendenza.
Se il dominio non è rettangolare le variabili non possono essere indipendenti. Se invece lo è devi usare la definizione che ti ho scritto prima
Se il dominio non è rettangolare le variabili non possono essere indipendenti. Se invece lo è devi usare la definizione che ti ho scritto prima
Ti chiedo scusa, non ho letto con attenzione. Grazie ancora per avermi aiutata!
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