Vettore aleatorio con distribuzione uniforme su parallelogramma

[_Daniele_]

Il vettore aleatorio $(X,Y)$ ha distribuzione uniforme nel parallelogramma di vertici $(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)$. Determinare le densità di probabilità $f_X$ e $f_Y$.
Trovare il valore atteso di $ Z=e^sqrt(Y) $

Mi calcolo per prima cosa la densità congiunta: $ f(x,y)={ ( 1/(area(P)) ),( 0 ):} $ . L'area del parallelogramma P è uguale a 1, quindi la densità congiunta è: $ f(x,y)={ ( 1 (x,y in P)),( 0 ):} $.

Siccome il parallelogramma è "divisibile" in due triangoli rettangoli, i domini li ho calcolati in questo modo: $ D_x={0 Dunque le marginali sono: $ f_X(x)=int_(0)^(x) 1 dy = x $ e $ f_Y(y)=int_(1)^(y+1) 1 dx= y $ . I miei dubbi sorgono su come ho calcolato il dominio, che secondo me è sbagliato.

Sul valore atteso ho bisogno di un suggerimento per cominciare.

[Lo_zio_Tom]

"JustDani95":
Sul valore atteso ho bisogno di un suggerimento per cominciare.

Solo una precisazione (sicuramente superflua)

Il valore atteso può essere calcolato direttamente dalla densità congiunta, senza passare per la marginale:

$E[g(Y)]=int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)g(y)f(x,y)dxdy=$

$=int_(0)^(1)e^sqrt (y)dyint_(y)^(y+1)dx=2$

[_Daniele_]

Vi ringrazio!

[Lo_zio_Tom]

@arnett: tardivamente ma mi sono accorto di un errore: la densità che hai scritto non è corretta. In forma compatta viene

$f_X(x)=[1-|1-x|]I_([0;2])(x)$

[Dario2205]

"tommik":[quote="JustDani95"]
Sul valore atteso ho bisogno di un suggerimento per cominciare.

Solo una precisazione (sicuramente superflua)

Il valore atteso può essere calcolato direttamente dalla densità congiunta, senza passare per la marginale:

$E[g(Y)]=int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)g(y)f(x,y)dxdy=$

$=int_(0)^(1)e^sqrt (y)dyint_(y)^(y+1)dx=2$[/quote]

io ho risolto questo punto dell'esercizio utilizzando solo la densità marginale della y così facendo: $E[g(y)]=int_(0)^(1)e^sqrt (y)dy = 2$[/quote]
volevo sapere se fosse giusto o se devo mettere anche il secondo integrale da te inserito