Vettore aleatorio con distribuzione uniforme in una sfera
Buongiorno. Avrei da proporvi un esercizio che ha la seguente traccia:
"Sia $(X,Y,Z)$ distribuito uniformemnte nella sfera di centro 0 e raggio 1. Calcolare la distribuzione di $Z$. E' maggiore la probabilità che $Z$ sia tra 0 e un quarto o tra tre quarti e uno?"
La soluzione che il prof propone è la seguente:
La densità $f(x,y,z)$ del vettore $(X,Y,Z)$ è pari alla funzione indicatrice della sfera divisa per $(4\pi)/3$.
La densità di $Z$, sia essa $h$, è data da:
$h(t)=\int_(R^2)f(x,y,t)dxdy=3/(4\pi)\int_({x^2+y^2<=1-t^2)}dxdy=3/4(1-t^2)$ se $-1<=t<=t$ e zero altrimenti.
Sicome la densita' e' decrescente per $t>=0$,la prima probabilità è maggiore della seconda.
Ho provato molto a ragionarci ma molte cose mi sfuggono. Innanzitutto è la prima volta che incontro una distribuzione uniforme nello spazio perchè di solito gli esercizi erano sempre distribuzioni in un intervallo a due dimensioni ed erano praticamente le funzioni indicatrici dell'intervallo fratto la lunghezza dell'intervallo stesso. Qui invece come si opera? Avrei delle domande:
1)Perchè la distribuzione è la funzione indicatrice fratto il volume della sfera? Si opera sempre così? Che sia un intervallo o un volume?
2) Come si trova la distribuzione di Z? Perchè l'integrale viene impostato proprio in quel modo e proprio con quegli estremi di integrazione?
Grazie mille
"Sia $(X,Y,Z)$ distribuito uniformemnte nella sfera di centro 0 e raggio 1. Calcolare la distribuzione di $Z$. E' maggiore la probabilità che $Z$ sia tra 0 e un quarto o tra tre quarti e uno?"
La soluzione che il prof propone è la seguente:
La densità $f(x,y,z)$ del vettore $(X,Y,Z)$ è pari alla funzione indicatrice della sfera divisa per $(4\pi)/3$.
La densità di $Z$, sia essa $h$, è data da:
$h(t)=\int_(R^2)f(x,y,t)dxdy=3/(4\pi)\int_({x^2+y^2<=1-t^2)}dxdy=3/4(1-t^2)$ se $-1<=t<=t$ e zero altrimenti.
Sicome la densita' e' decrescente per $t>=0$,la prima probabilità è maggiore della seconda.
Ho provato molto a ragionarci ma molte cose mi sfuggono. Innanzitutto è la prima volta che incontro una distribuzione uniforme nello spazio perchè di solito gli esercizi erano sempre distribuzioni in un intervallo a due dimensioni ed erano praticamente le funzioni indicatrici dell'intervallo fratto la lunghezza dell'intervallo stesso. Qui invece come si opera? Avrei delle domande:
1)Perchè la distribuzione è la funzione indicatrice fratto il volume della sfera? Si opera sempre così? Che sia un intervallo o un volume?
2) Come si trova la distribuzione di Z? Perchè l'integrale viene impostato proprio in quel modo e proprio con quegli estremi di integrazione?
Grazie mille
Risposte
Ha semplicemente applicato le definizioni. Se una variabile è distribuita uniformemente in un determinato dominio mi pare piuttosto intuitivo che la densità sia il reciproco di tale dominio....se X è distribuita uniformemente su una circonferenza di raggio 1 avrai $f(x)=1/(2pi)$, se è distribuita uniformemente sul cerchio di centro 0 e raggio 1 avrai $f(x)=1/pi$ ecc ecc
Calcolare la densità di Z significa calcolare la densità di una variabile marginale....per definizione, basta integrare le altre variabili su tutto il loro dominio...
D'accordo che sei all'inizio ma prima di affrontare esercizi è necessario studiare bene la teoria sottostante, IMHO
Calcolare la densità di Z significa calcolare la densità di una variabile marginale....per definizione, basta integrare le altre variabili su tutto il loro dominio...
D'accordo che sei all'inizio ma prima di affrontare esercizi è necessario studiare bene la teoria sottostante, IMHO
Effettivamente confrontando l'integrale con la teoria ora mi trovo. L'unica cosa era appunto trovare f congiunta, avevo dubbi su quello. Ero stata abituata solo a distribuzioni su un intervallo. Grazie e scusa la banalità della domanda 
\(\displaystyle \)
Certo che questo prof ha un tasso di errore decisamente alto...d'accordo che sono tutti evidenti refusi, distrazioni ecc ecc ma due topic su due
....forse all'inizio è meglio che provi a risolvere esercizi più controllati altrimenti rischi di far molta confusione...
Nel post di ieri hai visto quanti errori c'erano nella soluzione ($X$ al posto di $Z$, parte dell'integranda mancante)
Nel presente esercizio, il risultato dell'integrale è giusto[nota]si fa anche a mente passando in polari: $3/(4pi)*(1-t^2)/2*2pi=3/4(1-t^2)$[/nota] ma il dominio non può certo essere $-1<=t
Se guardi in questo forum di esercizi sui vettori aleatori ne trovi a centinaia...tutti risolti e commentati
ciao
"raissa10":
La densità di $Z$, sia essa $h$, è data da:
$h(t)=\int_(R^2)f(x,y,t)dxdy=3/(4\pi)\int_({x^2+y^2<=1-t^2)}dxdy=3/4(1-t^2)$ se $-1<=t<=t$ e zero altrimenti.
Certo che questo prof ha un tasso di errore decisamente alto...d'accordo che sono tutti evidenti refusi, distrazioni ecc ecc ma due topic su due
....forse all'inizio è meglio che provi a risolvere esercizi più controllati altrimenti rischi di far molta confusione...Nel post di ieri hai visto quanti errori c'erano nella soluzione ($X$ al posto di $Z$, parte dell'integranda mancante)
Nel presente esercizio, il risultato dell'integrale è giusto[nota]si fa anche a mente passando in polari: $3/(4pi)*(1-t^2)/2*2pi=3/4(1-t^2)$[/nota] ma il dominio non può certo essere $-1<=t
Se guardi in questo forum di esercizi sui vettori aleatori ne trovi a centinaia...tutti risolti e commentati
ciao
Si, questo errore sono riuscita ad intuirlo quando ho iniziato a svolgere per bene sul quaderno l'esercizio perchè era effettivamente evidente. Ma ad esempio ieri non sarei mai riuscita ad individuare quell'altro errore senza il tuo aiuto 
Purtroppo mi avevano avvisato che il file del prof ha più di qualche errore
Riguardo l'integrale, l'ho risolto con le coordinate polari. Grazie ancora
Purtroppo mi avevano avvisato che il file del prof ha più di qualche errore
Riguardo l'integrale, l'ho risolto con le coordinate polari. Grazie ancora
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