Vettore aleatorio assolutamente continuo

[*Shin1]

Ho questo problema che non riesco a capire come risolverlo

Sia (X,Y) vettore aleatorio assolutamente continuo di densità:

f(x,y)=$\{(1/6 se (x,y) in R1),(1/3 se (x,y) in R2),(0 "altrimenti" ):}$

R1 è il rettangolo di vertici (0,0), (1,0), (1,2), (0,2) mentre R2: (2,0),(3,0),(3,2),(2,2)

Calcolare le densità marginali delle variabili X e Y

La soluzione dice:

$f(x)_X$ = $\{(1/3 se 0<=x<=1),(2/3 se 2<=x<=3),(0 "altrimenti" ):}$

$f(y)_Y$ = $\{(1/2 se 0<=y<=2),(0 "altrimenti" ):}$

Ma non capisco perchè...

qualcuno mi spiegherebbe bene i passaggi?

[adaBTTLS1]

$f(x)_X$ mi torna, perché i due rettangoli hanno la stessa area, e dunque la probabilità del primo è la metà di quella del secondo ...
ma per l'altra non capisco, dovrebbe essere $1$ e non $1/2$ ...

EDIT:
il fatto di vedere scritto $f(x)$, cioè "effe" come nella definizione del testo, ed il fatto che la prima potesse essere tranquillamente interpretata come distribuzione di probabilità, mi hanno distolto dal termine "densità", ed anche se avevo avuto una vaga idea di come potesse essere interpretato $1/2$, l'ho rigettata subito, scrivendo questa "sciocchezza". scusate.

[Aliseo1]

riguardo a $ f_{X}(x) $ esce anche a me lo stesso risultato, ma riguardo a $ f_{Y}(y) $ mi esce $ 1/3 $, quando $ y in [0,2] $, $0$ altrimenti

[Aliseo1]

@Shin

Sicura che sia "1/2"?

[K.Lomax]

C'è una ragione matematica ben precisa e semplice per la quale quel valore deve essere $1/2$. Se $f_Y(y)$ è una densità di probabilità deve vale la seguente relazione:

$\int_(-\infty)^(+\infty)f_Y(y)dy=1$

Se fosse uguale a $1$ si avrebbe $2$ . La marginale di $Y$ la calcolerei così:

$f_Y(y)=\int_(-\infty)^(\infty)f(x,y)dx=\int_(1)^(2)1/6dx+\int_(2)^(3)1/3dx=1/6+1/3=1/2$

ovviamente solo se $0<=y<=2$, essendo $f(x,y)$ diversa da zero solo in questo intervallo.

[*Shin1]

sicurissimo.
vi allego il testo:

http://informatica.dsi.unive.it/~cps/compito3-9-08.pdf

mi potreste spiegare come ha calcolato la funzione di ripartizione di Z?

[K.Lomax]

Prova ad applicare questa:

$F_Z(z)=\int_(-\infty)^(+\infty)\int_(-\infty)^(z-2x)f_(X,Y)(x,y)dydx

per ottenere direttamente $F_Z(z)$o calcoli

$f_Z(z)=\int_(-\infty)^(+\infty)f_(X,Y)(x,z-2x)dx$

e poi integri per ottenere la prima.