Verosimiglianza rendimenti

[Walter97lor]

Ciao a tutti,
posto questo esercizio per accertarmi della corretta soluzione.
Il problema e:
Si assuma che il rendimento di un titolo sia distribuito come $r_t ~ N(0, sigma_t^2) $ per $t = 2,3,...,T$.
Si calcoli lo score $grad_(sigma_t^2)$ e la derivata prima dello score $ S_(sigma_t^2)$, il valore atteso dello score e la varianza dello score.
Innanzitutto, ho calcolato:
La funzione di verosimiglianza per $ t=2,3,...T $, ottenendo:
$ L(r_t|I_(t-1);sigma_t^2) prop prod_(t=2)^T 1/(sqrt(sigma_t^2)) e^(-1/2sum_(t=2)^T(r_t^2)/sigma_t^2 $
La log-verosimiglianza è:
$ l(sigma_t^2) =-1/2sum_(t=2)^Tlog(sigma_t^2)-1/2sum_(t=2)^T(r_t^2)/sigma_t^2 $
Lo score, per la $t-esima$ osservazione è:
$ grad_(sigma_t^2) =-1/(2(sigma_t^2))+1/2(r_t^2)/(sigma_t^2)^2 $
La derivata prima dello score per la $t-esima$ osservazione è:
$ S_(sigma_t^2)=1/(2(sigma_t^2)^2)-(r_t^2/(sigma_t^2)^3) $
Dunque calcolo il valore atteso:
$E[grad_(sigma_t^2)] = E[E_(t-1)[-1/(2(sigma_t^2))+1/2(r_t^2)/(sigma_t^2)^2]]= E[-1/(2sigma_t^2]+1/(2(sigma_t^2)^2)*E_(t-1)[r_t^2]] = E[-1/(2sigma_t^2) + 1/(2(sigma_t^2)^2)*(sigma_t^2)] = E[0] = 0$
Con calcoli analoghi si procede per la varianza dello score, che è pari all'informazione di Fisher, ovvero:
$ Var[grad_(sigma_t^2]]= -E[S_(sigma_t^2)] = -E[E_(t-1)[1/(2(sigma_t^2)^2)-r_t^2/(sigma_t^2)^3]] = ...= E[1/2(sigma_t^2)^2] $
non essendo disponibile l'equazione dinamica della volatilità, è corretto scrivere che:
$E[1/2(sigma_t^2)^2] = 1/2(sigma_t^2)^2 $ ?
Grazie a chi risponderà.

[Walter97lor]

Qualcuno saprebbe indirizzarmi? Riscrivo il problema nel caso in cui non sia chiaro.
Grazie a chi risponderà.