Verifica delle soluzioni.
Ciao a tutti, visto che il mio libro non riporta nè risultati nè soluzioni non so se il procedimento adottato da me è giusto o meno. Quindi ho pensato di postare qui degli esercizi per farli controllare da voi (più esperti di me) . Sono all'inizio del corso e devo ancora capire come risolverli bene, quindi credo che ci siano parecchi errori.
Ex 1:
Da un'urna contente 4 palline bianche e 3 nere si eseguono due estrazioni con rimpiazzo.
a) Calcolare la probabilità che le due palline estratte siano del medesimo colore.
b) Calcolare la probabilità che almeno una delle due palline estratte sia nera.
Svolgimento:
Allora la probabilità che esca una bianca è $ 1/4 $ mentre quella che esca una nera è $ 1/3 $
a) Visto che le estrazioni sono con rimpiazzo ho pensato di usare lo schema binomiale cioè questo:
P(# nere uscite) = \(\displaystyle \binom{n}{k} \) $ p^(k) (1-p)^(n-k) $
Dove:
n = estrazioni.
k = 2 nere.
Applico la formula e viene come risultato $ 1/8 $.
b) Qui applico la stessa formula ma con $ k = 1 $ e il risultato dovrebbe essere $ 1/6 $
EX 2:
Un giocatore di poker riceve all'inizio del gioco 5 carte da un normale mazzo di 52.
a) Qual è la probabilità di ricevere almeno 2 assi?
b) Qual è la probabilità di ricevere 5 carte dello stesso seme?
c) Qual è la probabilità di ricevere un poker servito?
Svolgimento:
a) Visto che è senza rimpiazzo ho usato la formula iper-geometrica.
$ X ~ Hyper(5,2,47) $
Dove 5 = estrazioni.
2 = successo (ossia due assi uguali)
47 = insuccesso (tutte le altre carte)
P(X=2) dalla formula torna come risultato: $ 1.64 $ (mi sembra errato).
I punti b) e c) non riesco a risolverli, non so cosa applicare. Se ho capito ogni problema è possibile ridurlo a qualche caso generale da cui posso applicare le formule.
EX 3:
Un'urna contiene due carte: una di esse ha entrambi i lati neri mentre l'altra ha un lato nero e uno bianco. Una carta viene estratta e se ne guarda uno solo dei lati: è nero. Qual è la probabilità che anche il secondo lato sia nero?
Svolgimento:
La probabilità iniziale che esca un lato nero è di $ 3/4 $ mentre che esce un lato bianco è di $ 1/4 $.
Io ho riportato questo problema invece di usare le carte ho usato le palline. Cioè un urna con 3 palline nere e 1 bianca.
Applicando la proprietà condizionale:
$ P(N2 | N1) = (N-1) / (b+ (N-1)) ==> (2)/(1+2) = 2/3 $
Dove N2 è la seconda palline nera estratta sapendo che la prima estratta (N1) è nera.
EX 4:
Un giocatore gioca a lotto i numeri $ 1,2,3 $. Per aiutare la fortuna nottetempo egli fa in modo di aggiungere all'urna tre palline supplementari con i numeri $ 1,2,3 $ (quindi ora ci sono 93 palline nell'urna).
a) Qual è la probabilità che vengano estratte almeno due palline col numero uguale ?
b) Di quanto è aumentata la sua probabilità di fare terno?
Svolgimento:
a) Premetto che non riesco a capire che formula usare visto che non so quante estrazioni vengono effettuate (presumo 5 come nel lotto).
Se fosse così applico la formula iper-geometrica al gioco del lotto normale quindi con 90 palline e i numeri del terno giocati dal giocatore. Fatto ciò ho il risultato: $ 0.000085 $
Ora, visto che lui ha messo le stesse palline ha il doppio delle possibilità di vincere quindi posso elevare al quadrato quel numero e avere il risultato per la domanda a). Corretto?
b) E' giusto prendere il risultato elevato al quadrato e sottrarlo a $ 0.000085 $ ?
Grazie della pazienza e delle eventuali risposte.
Ex 1:
Da un'urna contente 4 palline bianche e 3 nere si eseguono due estrazioni con rimpiazzo.
a) Calcolare la probabilità che le due palline estratte siano del medesimo colore.
b) Calcolare la probabilità che almeno una delle due palline estratte sia nera.
Svolgimento:
Allora la probabilità che esca una bianca è $ 1/4 $ mentre quella che esca una nera è $ 1/3 $
a) Visto che le estrazioni sono con rimpiazzo ho pensato di usare lo schema binomiale cioè questo:
P(# nere uscite) = \(\displaystyle \binom{n}{k} \) $ p^(k) (1-p)^(n-k) $
Dove:
n = estrazioni.
k = 2 nere.
Applico la formula e viene come risultato $ 1/8 $.
b) Qui applico la stessa formula ma con $ k = 1 $ e il risultato dovrebbe essere $ 1/6 $
EX 2:
Un giocatore di poker riceve all'inizio del gioco 5 carte da un normale mazzo di 52.
a) Qual è la probabilità di ricevere almeno 2 assi?
b) Qual è la probabilità di ricevere 5 carte dello stesso seme?
c) Qual è la probabilità di ricevere un poker servito?
Svolgimento:
a) Visto che è senza rimpiazzo ho usato la formula iper-geometrica.
$ X ~ Hyper(5,2,47) $
Dove 5 = estrazioni.
2 = successo (ossia due assi uguali)
47 = insuccesso (tutte le altre carte)
P(X=2) dalla formula torna come risultato: $ 1.64 $ (mi sembra errato).
I punti b) e c) non riesco a risolverli, non so cosa applicare. Se ho capito ogni problema è possibile ridurlo a qualche caso generale da cui posso applicare le formule.
EX 3:
Un'urna contiene due carte: una di esse ha entrambi i lati neri mentre l'altra ha un lato nero e uno bianco. Una carta viene estratta e se ne guarda uno solo dei lati: è nero. Qual è la probabilità che anche il secondo lato sia nero?
Svolgimento:
La probabilità iniziale che esca un lato nero è di $ 3/4 $ mentre che esce un lato bianco è di $ 1/4 $.
Io ho riportato questo problema invece di usare le carte ho usato le palline. Cioè un urna con 3 palline nere e 1 bianca.
Applicando la proprietà condizionale:
$ P(N2 | N1) = (N-1) / (b+ (N-1)) ==> (2)/(1+2) = 2/3 $
Dove N2 è la seconda palline nera estratta sapendo che la prima estratta (N1) è nera.
EX 4:
Un giocatore gioca a lotto i numeri $ 1,2,3 $. Per aiutare la fortuna nottetempo egli fa in modo di aggiungere all'urna tre palline supplementari con i numeri $ 1,2,3 $ (quindi ora ci sono 93 palline nell'urna).
a) Qual è la probabilità che vengano estratte almeno due palline col numero uguale ?
b) Di quanto è aumentata la sua probabilità di fare terno?
Svolgimento:
a) Premetto che non riesco a capire che formula usare visto che non so quante estrazioni vengono effettuate (presumo 5 come nel lotto).
Se fosse così applico la formula iper-geometrica al gioco del lotto normale quindi con 90 palline e i numeri del terno giocati dal giocatore. Fatto ciò ho il risultato: $ 0.000085 $
Ora, visto che lui ha messo le stesse palline ha il doppio delle possibilità di vincere quindi posso elevare al quadrato quel numero e avere il risultato per la domanda a). Corretto?
b) E' giusto prendere il risultato elevato al quadrato e sottrarlo a $ 0.000085 $ ?
Grazie della pazienza e delle eventuali risposte.
Risposte
"Escher":
Ex 1:
Da un'urna contente 4 palline bianche e 3 nere si eseguono due estrazioni con rimpiazzo.
a) Calcolare la probabilità che le due palline estratte siano del medesimo colore.
b) Calcolare la probabilità che almeno una delle due palline estratte sia nera.
Svolgimento:
Allora la probabilità che esca una bianca è $ 1/4 $ mentre quella che esca una nera è $ 1/3 $
Attento che le palline in totale sono $4+3=7$ quindi la probabilità di una bianca è $4/7$ mentre quella nera $3/7$
poi il resto dello svolgimento dovrebbe essere giusto
Vediamo ...
Non direi: le palline sono 7, di cui 4 bianche e 3 nere. Quindi ad ogni estrazione $P(b)=4/7$ e $P(n)=3/7$
Il ragionamento può andare (con $n=2$ e $k=2$) ma si chiede che siano dello stesso colore, quindi devi sommare le due probabilità 'estrarrre due bianche' ed 'estrarre due nere' - i due eventi sono disgiunti.
No, si chiede "almeno una" sia nera; puoi ancora applicare la binomiale ai due eventi - ancora disgiunti - 'esattamente una è nera' ed 'esattamente due sono nere'.
Nota: potevi anche contare i casi, e ti risparmiavi un po' di formule.
Esagerato!
Ragioniamo: quando si scelgono 5 carte da un mazzo di 52, abbiamo un totale di $((52),(5))$ "mani". Riesci a vedere quante mani sono con gli assi?
Cominciamo da queste, il resto lo vediamo poi.
"Escher":
Allora la probabilità che esca una bianca è $ 1/4 $ mentre quella che esca una nera è $ 1/3 $
Non direi: le palline sono 7, di cui 4 bianche e 3 nere. Quindi ad ogni estrazione $P(b)=4/7$ e $P(n)=3/7$
"Escher":
a) Visto che le estrazioni sono con rimpiazzo ho pensato di usare lo schema binomiale cioè questo:
P(# nere uscite) = \(\displaystyle \binom{n}{k} \) $ p^(k) (1-p)^(n-k) $
Il ragionamento può andare (con $n=2$ e $k=2$) ma si chiede che siano dello stesso colore, quindi devi sommare le due probabilità 'estrarrre due bianche' ed 'estrarre due nere' - i due eventi sono disgiunti.
"Escher":
b) Qui applico la stessa formula ma con $ k = 1 $ e il risultato dovrebbe essere $ 1/6 $
No, si chiede "almeno una" sia nera; puoi ancora applicare la binomiale ai due eventi - ancora disgiunti - 'esattamente una è nera' ed 'esattamente due sono nere'.
Nota: potevi anche contare i casi, e ti risparmiavi un po' di formule.
"Escher":
EX 2: ...
a) Visto che è senza rimpiazzo ho usato la formula iper-geometrica.
Esagerato!
Ragioniamo: quando si scelgono 5 carte da un mazzo di 52, abbiamo un totale di $((52),(5))$ "mani". Riesci a vedere quante mani sono con gli assi?
Cominciamo da queste, il resto lo vediamo poi.
Grazie , ho capito l'errore fatto nell' EX 1 infatti anche facendo $ 1/3 + 1/4 $ non viene $ 1 $, quindi potevo accorgermi che era sbagliato.
Sempre per l' EX 1: in pratica devo sommare le due probabilità P(# nere uscite) + P( # bianche uscite) ? Devo ripetere il calcolo per le due palline bianche uscite ?
Per la domanda:
Devo calcolare le combinazioni di tutte le mani di 5 carte non ordinante che posso formare con i 2 assi ?
Oppure posso calcolare la probabilità che ne esca solo uno dal mazzo di 52 carte, che è: $ 4/52 $. Poi calcolo che ne escano due: $ 3 / 51 $ . Poi moltiplico le soluzioni.
Sempre per l' EX 1: in pratica devo sommare le due probabilità P(# nere uscite) + P( # bianche uscite) ? Devo ripetere il calcolo per le due palline bianche uscite ?
Per la domanda:
Devo calcolare le combinazioni di tutte le mani di 5 carte non ordinante che posso formare con i 2 assi ?
Oppure posso calcolare la probabilità che ne esca solo uno dal mazzo di 52 carte, che è: $ 4/52 $. Poi calcolo che ne escano due: $ 3 / 51 $ . Poi moltiplico le soluzioni.
"Escher":
Grazie , ho capito l'errore fatto nell' EX 1 infatti anche facendo $ 1/3 + 1/4 $ non viene $ 1 $, quindi potevo accorgermi che era sbagliato.
Sempre per l' EX 1: in pratica devo sommare le due probabilità P(# nere uscite) + P( # bianche uscite) ? Devo ripetere il calcolo per le due palline bianche uscite ?
Per la domanda:
Devo calcolare le combinazioni di tutte le mani di 5 carte non ordinante che posso formare con i 2 assi ?
Oppure posso calcolare la probabilità che ne esca solo uno dal mazzo di 52 carte, che è: $ 4/52 $. Poi calcolo che ne escano due: $ 3 / 51 $ . Poi moltiplico le soluzioni.
Allora come ti ha già spiegato rggb a te non bastano 2 nere ma vuoi o 2 nere o 2 bianche quindi applichi 2 volte il binomiale una volta con la probabilità delle palline nere e una di quelle bianche e le sommi.
Anche il secondo punto del primo esercizio è sbagliato poichè ne vuoi almeno una nera e se applichi il semplice binomiale hai esattamente una nera, quindi devi fare la sommatoria con k da 1 a 2 del binomiale.
Il secondo esercizio, anche se non ho visto lo svolgimento, dissentendo da rggb, secondo me va svolto con il modello ipergeometrico, non che con il calcolo da lui consigliato non si risolva, ma solo per abitudine, poichè con due assi è semplice in un altro caso potrebbe essere diverso, allora per levare da mezzo i dubbi io consiglio sempre il modello.
Perdonami ma il resto per ora non l'ho visto
Grazie mille della risposta, e grazie della spiegazione.
Ps: Non preoccuparti di non aver visto il resto
Ps: Non preoccuparti di non aver visto il resto
mi sono visto il 3, non ho capito ne bene lo svolgimento ne perchè tu lo abbia fatto così, ma in ogni caso il risultato dovrebbe essere esatto quindi presumo lo sia anche lo svolgimento.
A dovere di cronaca ti riporto quello che dovrebbe essere lo svolgimento corretto ( che è sicuramente il più facile )
$P(N2|N1)=(P(N2N1))/(P(N1))$ chiaramente l'intersezione equivale a prendere la carta con entrambi i lati neri e quindi probabilità $1/2$, mentre N1 ha probabilità $(3/4)=1*(1/2)+(1/2)*(1/2)$
A dovere di cronaca ti riporto quello che dovrebbe essere lo svolgimento corretto ( che è sicuramente il più facile )
$P(N2|N1)=(P(N2N1))/(P(N1))$ chiaramente l'intersezione equivale a prendere la carta con entrambi i lati neri e quindi probabilità $1/2$, mentre N1 ha probabilità $(3/4)=1*(1/2)+(1/2)*(1/2)$
Grazie ancora, ho capito anche il tuo precedimento.
@Luc
Non c'è bisogno di dissentire
anche perché non ho detto che non sia corretta. L'importante è che si abbia capito perché si usa una certa distribuzione, per il resto certamente hai ragione: è sempre meglio abituarsi "bene".
@Escher
(Es. 4) Anzitutto al lotto si estraggono 10 numeri(*). Poi si chiede 'almeno due' palline con lo stesso numero, e lo stesso testo ricorda che, dopo aver taroccato
il gioco, le palline nell'urna sono 93. Rivedi il ragionamento.
(*)
Non c'è bisogno di dissentire
anche perché non ho detto che non sia corretta. L'importante è che si abbia capito perché si usa una certa distribuzione, per il resto certamente hai ragione: è sempre meglio abituarsi "bene".@Escher
(Es. 4) Anzitutto al lotto si estraggono 10 numeri(*). Poi si chiede 'almeno due' palline con lo stesso numero, e lo stesso testo ricorda che, dopo aver taroccato
il gioco, le palline nell'urna sono 93. Rivedi il ragionamento.(*)
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