V.C. Gamma

[Mandolino1]

Un sistema è costituito da 30 elementi che funzionano in modo tale che se il primo si guasta allora entra in funzione il secondo e così via. La vita attesa di ciascuno degli elementi è pari a 3. All'istante 68 l'affidabilità del sistema quanto sarà?

Premetto che un esercizio simile a questo già lo avevo postato (viewtopic.php?f=34&t=178288) ma trovo comunque difficoltà... Sapendo che $ \Gamma (30, 1/3) $ come faccio a trovare la probabilità $P(X>68)$ ? Bisogna usare la formula per l'esponenziale?

[Lo_zio_Tom]

standardizzi e usi le tavole della $chi^2$, dato che la $chi^2$ è un caso particolare della Gamma.
Esattamente come nell'esempio a cui fai riferimento....con una difficoltà in più: qui i gdl sono alti e potresti non trovarli sulle tavole.

[Lo_zio_Tom]

Da domani sono in vacanza....quindi come saluto ti mostro questo:

Come sappiamo, se $X~ Gamma(n,theta)$ allora $Y=2thetaX~chi_((2n))^2$

Quindi dire

$P(X>68)=P(chi_((60))^2>45.33)=91.99%~~ 92%$

(fatto col calcolatore)

Se non vuoi usare il calcolatore, puoi approssimare la chi quadro con la gaussiana (essendo i gdl alti, maggiori di 30) come ho fatto in questo post

e quindi

$P(X>68)=P(Y>45.33)=P(Z>sqrt(2*45.33)-sqrt(119))=P(Z> -1.39)=91.72~~ 92%$

Dato che evidenzia anche che bella sia questa approssimazione....

spero di esserti stato di aiuto....di tanto in tanto darò un'occhiata al forum, ma dove vado non è che ci sia una gran linea internet......

[Mandolino1]

Ecco... anche io avevo seguito come modello la risoluzione che avevi fatto tu nel mio post ma, come puoi vedere dalla foto, nelle tabelle che ho io i g.d.l. arrivano a 50 e non fino a 60... Se ho dubbi riguardo l'altra risoluzione posso chiarirli in questo post?

[Lo_zio_Tom]

sì certo fai pure. Come ti ho anticipato non tutte le tavole arrivano a grandi gdl.....se la tua arriva a 50 poco male...usi l'approssimazione con la Gaussiana che ti ho mostrato e che dovresti reperire su qualunque testo ben fatto:

Ecco ad esempio quello che uso io, il Mood Graybill Boes

[Mandolino1]

La formula l'ho capitae l'ho già messa nel mio personale formulario ma... come faccio a trovare quel valore di Y?

[Mandolino1]

ah che stupido... la Y è la standardizzazione di X>68 quindi sarebbe 2/3*68...
Ti auguro buone vacanze Tommik

[Mandolino1]

Scusa se riscrivo in questo post ma rifacendo l'esercizio questa mattina mi sono venuti ovviamente gli stessi valori ma ho un dubbio proprio all'ultimo... Non dovremmo usare la relazione $ Z(-a)=1-Z(a) $? e quindi il risultato finale viene $ P(X>68)=8% $... Il risultato dovrebbe essere quel 92% anche perchè se 30 lampadine hanno vita attesa 3 è molto probabile che avranno un'affidabilità molto alta all'istante 68 ma come spiegare quel cavillo matematico?

[Mandolino1]

Ovviamente mi scuso se ti disturbo ancora mentre sei in vacanza....

[Lo_zio_Tom]

Figurati, se posso rispondo altrimenti risponderà qualcun altro. Sbagli perché $P (Z>k) $ non è $Z (k) $ ma $1-Z (k) $


$P (X>68)=...=P (Z> -1,39)=1-P (Z < -1,39)=1-Z (-a)=1-(1-Z (a))=Z (a)=Z (1,39)=0,92$

Ciao