V.C Bivariata??
Buon Pomeriggio, facevo un esercizio di un università americana (vi posto il link http://www.ams.sunysb.edu/~jsbm/courses ... fs-sol.pdf (L'ESERCIZIO è IL NUMERO 3)). ciò che non mi ritorna è il risultato del punto (b): data un funzione di densità $ f(x,y)={ ( 4xy ),( 0 ):}se (0<=x<=1) (0<=y<=1) $
chiede di trovare $ P(|Y-2X|<= 0.1) $ . Infatti eseguendo i calcoli dei 2 doppi integrali mi viene una probabilità negativa. vi allego una foto di come ho svolto i calcoli. Ho riprovato svariate volte ma il risultato è sempre negativo. dove sto sbagliando? grazie in anticipo
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chiede di trovare $ P(|Y-2X|<= 0.1) $ . Infatti eseguendo i calcoli dei 2 doppi integrali mi viene una probabilità negativa. vi allego una foto di come ho svolto i calcoli. Ho riprovato svariate volte ma il risultato è sempre negativo. dove sto sbagliando? grazie in anticipo
Risposte
[xdom="tommik"]3.6...Il testo di eventuali problemi o esercizi va scritto esplicitamente, senza limitarsi a link o foto o immagini.[/xdom]
il testo, ma soprattutto le bozze di soluzione....non penso che qualcuno abbia voglia di interpretare i geroglifici che hai fotografato. L'esercizio peraltro non presenta alcun problema, tra l'altro hai anche l'integrale bello e scritto, devi solo stare attento ai conti....ad ogni modo, puoi scrivere per bene le formule con tutti i passaggi che te li guardo..... (anche se la domanda che poni non ha nulla a che fare con la statistica ma solo con il calcolo elementare)
prendiamo ad esempio il primo dei due:
$int_(0)^(0.1)4ydyint_(0)^((y+0.1)/2)xdx=int_(0)^(0.1)4ydy[x^2/2]_(0)^((y+0.1)/2)=$
$=int_(0)^(0.1)y(y+0.1)^2/2 dy=1/2int_(0)^(0.1)[y^3+0.2y^2+0.01y]dy=1/2[y^4/4+y^3/15+y^2/200]_(0)^(0.1)=1/(80.000)+1/(30.000)+1/(40.000)~~ 0$
ecc ecc
...come vedi scrivere le formule è davvero semplice (se citi il mio messaggio vedrai come fare...)
saluti
il testo, ma soprattutto le bozze di soluzione....non penso che qualcuno abbia voglia di interpretare i geroglifici che hai fotografato. L'esercizio peraltro non presenta alcun problema, tra l'altro hai anche l'integrale bello e scritto, devi solo stare attento ai conti....ad ogni modo, puoi scrivere per bene le formule con tutti i passaggi che te li guardo..... (anche se la domanda che poni non ha nulla a che fare con la statistica ma solo con il calcolo elementare)
prendiamo ad esempio il primo dei due:
$int_(0)^(0.1)4ydyint_(0)^((y+0.1)/2)xdx=int_(0)^(0.1)4ydy[x^2/2]_(0)^((y+0.1)/2)=$
$=int_(0)^(0.1)y(y+0.1)^2/2 dy=1/2int_(0)^(0.1)[y^3+0.2y^2+0.01y]dy=1/2[y^4/4+y^3/15+y^2/200]_(0)^(0.1)=1/(80.000)+1/(30.000)+1/(40.000)~~ 0$
ecc ecc
...come vedi scrivere le formule è davvero semplice (se citi il mio messaggio vedrai come fare...)
saluti
io l'ho risolto così: $ int_(y=0)^(y=1/10) int_(x=0)^(x=y/2+1/20) (4xy) dx dy +int_(y=1/10)^(y=1) int_(x=y/2+1/20)^(x=y/2-1/20) (4xy) dxdy $ ;
2 step $ =4int_(y=0)^(y=1/10)[x^2/2y]_(x=0)^(x=y/2+1/20)dy+4int_(y=1/10)^(y=1)[x^2/2y]_(x=y/2+1/20)^(x=y/2-1/20)dy= $
3 step $ =4int_(y=0)^(y=1/10)y(y/2+1/20)^2/2dy+4int_(y=1/10)^(y=1)[y(y/2-1/20)^2/2-y(y/2+1/20)^2/2]dy= $
4 step $ =4int_(y=0)^(y=1/10)(y^3/8+y^2/40+y/400)dy+4int_(y=1/10)^(y=1)[(y^3-y^2/40+y/400)-(y^3/8+y^2/40+y/400)]dy= $
5step $ =4[1/8(y^4/4)+1/40(y^3/3)+1/400(y^2/2)]_(y=0)^(y=1/10)+4[-2/40(y^3/3)]_(y=1/10)^(y=1)=
$
ultimo passaggio $1/80000+1/30000+1/8000-1/15-1/15000= $
purtroppo gli integrali li faccio da molto poco e non conoscevo come scrivere formule. Ti ringrazio
2 step $ =4int_(y=0)^(y=1/10)[x^2/2y]_(x=0)^(x=y/2+1/20)dy+4int_(y=1/10)^(y=1)[x^2/2y]_(x=y/2+1/20)^(x=y/2-1/20)dy= $
3 step $ =4int_(y=0)^(y=1/10)y(y/2+1/20)^2/2dy+4int_(y=1/10)^(y=1)[y(y/2-1/20)^2/2-y(y/2+1/20)^2/2]dy= $
4 step $ =4int_(y=0)^(y=1/10)(y^3/8+y^2/40+y/400)dy+4int_(y=1/10)^(y=1)[(y^3-y^2/40+y/400)-(y^3/8+y^2/40+y/400)]dy= $
5step $ =4[1/8(y^4/4)+1/40(y^3/3)+1/400(y^2/2)]_(y=0)^(y=1/10)+4[-2/40(y^3/3)]_(y=1/10)^(y=1)=
$
ultimo passaggio $1/80000+1/30000+1/8000-1/15-1/15000= $
purtroppo gli integrali li faccio da molto poco e non conoscevo come scrivere formule. Ti ringrazio
"FunkyGallo":
io l'ho risolto così: $ int_(y=0)^(y=1/10) int_(x=0)^(x=y/2+1/20) (4xy) dx dy +int_(y=1/10)^(y=1) int_(x=y/2+1/20)^(x=y/2-1/20) (4xy) dxdy $ ;
hai già sbagliato in partenza copiando male il testo del secondo integrale....ovviamente quello corretto è questo
$int_(y=1/10)^(y=1) int_(x=y/2-1/20)^(x=y/2+1/20) (4xy) dxdy $ ;
si vede subito che così la differenza dei doppi prodotti ti risulterà positiva e il tuo integrale conseguentemente cambierà di segno...dato che il resto degli addendi sono tutti prossimi a zero....
inoltre se lo lasci scritto così:
$int_(0.1)^(1)4ydyint_((y-0.1)/2)^((y+0.1)/2)xdx$
senza sviluppare le frazioni degli esrtremi di integrazione e sviluppando (successivamente) i quadrati $(y+-0.1)^2=y^2+-0.2y+0.01$ fai molti meno conti, ti si semplifica tutto ed eviti ulteriori eventuali errori di calcolo (che non ho controllato, vista la partenza fallata)
"FunkyGallo":
ultimo passaggio $-1/15-1/15000= $
inoltre questi due addendi non possono essere dello stesso segno....
ecco comunque come svolgere il secondo integrale senza spargere sangue dappertutto...
$int_(0.1)^(1)4ydyint_((y-0.1)/2)^((y+0.1)/2)xdx=int_(0.1)^(1)4ydy[x^2/2]_((y-0.1)/2)^((y+0.1)/2)=$
$=int_(0.1)^(1)4/8 [(y+0.1)^2-(y-0.1)^2]ydy$
Ora, ricordando che $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$ senza fare alcun conto[nota]nei tuoi conti invece ci sono numerosi errori /refusi, alcuni dei quali si compensano alla fine[/nota] otteniamo subito
$1/2int_(0.1)^(1)0.4y^2dy=1/5[y^3/3]_(0.1)^(1)=1/15[1-0.001]~~1/15$
dato che il secondo addendo tende a zero e può essere tralasciato (stiamo calcolando una %, non una massa subatomica...)
non sapevo si potesse "spostare l'integrazione dy" scinderla da quella in dx.. io molti accorgimenti non ce li ho quindi faccio tutto nella maniera più standard possibile.
comunque.. anche se avevo la soluzione sotto il naso, provando a reimpostare l'esercizio e da solo, avevo pensato all'integrazione in dx (orizzontale) da destra verso sinistra al posto che al contrario, quindi avevo invertito, sbagliando, upper e lower essendo sicuro al 100% di averli settati bene. oggi sono rincoglionito
(1) $ int_(y=0)^(y=0.1)int_(x=0)^(x=(y+0.1)/2)(4xy)dxdy+int_(y=0.1)^(y=1)int_(x=(y-0.1)/2)^(x=(y+0.1)/2)(4xy)dxdy= $
(2) $ =4int_(y=0)^(y=0.1)[yx^2/2]_(x=0)^(x=(y+0.1)/2)dy+4int_(y=0.1)^(y=1)[yx^2/2]_(x=(y-0.1)/2)^(x=(y+0.1)/2)dy= $
(3) $ =4int_(y=0)^(y=0.1)[y(y^2/4+0.2y/4+0.01/4)/2]dy+4int_(y=0.1)^(y=1)[(y(y^2/4+0.2y/4+0.01/4)/2)-(y(y^2/4-0.2y/4+0.01/4)/2)]dy= $
(4) $ =int_(y=0)^(y=0.1)(y^3/2+(0.2y^2)/2+(0.01y)/2)dy+int_(y=0.1)^(y=1)[+(0.4y^2)/2]= $
(5) $ = [(1/10)^4/8+(0.2(1/10)^3)/6+(0.01(1/10)^2)/4]+[((0.4(1)^3)/6)-((0.4(1/10)^3)] /6]=$
(6) $ 0.0000125+0.00003+0.0000025+0.06-0.00006 = 0.06 $
l'ho rifatto 3 volte e il risultato mi da così. dovrebbe essere giusto. grazie per l'aiuto
comunque.. anche se avevo la soluzione sotto il naso, provando a reimpostare l'esercizio e da solo, avevo pensato all'integrazione in dx (orizzontale) da destra verso sinistra al posto che al contrario, quindi avevo invertito, sbagliando, upper e lower essendo sicuro al 100% di averli settati bene. oggi sono rincoglionito
(1) $ int_(y=0)^(y=0.1)int_(x=0)^(x=(y+0.1)/2)(4xy)dxdy+int_(y=0.1)^(y=1)int_(x=(y-0.1)/2)^(x=(y+0.1)/2)(4xy)dxdy= $
(2) $ =4int_(y=0)^(y=0.1)[yx^2/2]_(x=0)^(x=(y+0.1)/2)dy+4int_(y=0.1)^(y=1)[yx^2/2]_(x=(y-0.1)/2)^(x=(y+0.1)/2)dy= $
(3) $ =4int_(y=0)^(y=0.1)[y(y^2/4+0.2y/4+0.01/4)/2]dy+4int_(y=0.1)^(y=1)[(y(y^2/4+0.2y/4+0.01/4)/2)-(y(y^2/4-0.2y/4+0.01/4)/2)]dy= $
(4) $ =int_(y=0)^(y=0.1)(y^3/2+(0.2y^2)/2+(0.01y)/2)dy+int_(y=0.1)^(y=1)[+(0.4y^2)/2]= $
(5) $ = [(1/10)^4/8+(0.2(1/10)^3)/6+(0.01(1/10)^2)/4]+[((0.4(1)^3)/6)-((0.4(1/10)^3)] /6]=$
(6) $ 0.0000125+0.00003+0.0000025+0.06-0.00006 = 0.06 $
l'ho rifatto 3 volte e il risultato mi da così. dovrebbe essere giusto. grazie per l'aiuto
perfetto, ho corretto e adesso viene anche a me (0.06=1/15), grazie comunque per il tuo aiuto
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