Varianza di uno stimatore
Ciao ragazzi, sto provando a risolvere un problema sugli stimatori con scarsi risultati.
"Vengono impiegati i seguenti due stimatori per stimare la varianza della v.a. gaussiana X sulla base di un campione di determinazioni sperimentali:
$S_1^2=1/n sum_{i=1}^n (x_i- bar x)^2$ --------------- $S_2^2=1/(n-1) sum_{i=1}^n (x_i- bar x)^2$
Si calcolino le varianze di questi due stimatori e se ne individui la maggiore."
Adesso io so come calcolare la media e la varianza di uno stimatore "media" ma non la varianza di uno stimatore "varianza".
Sono comunque arrivato ad alcuni riultati che potrebbero essere utili:
$E{S_1^2}=sigma^2- sigma^2/n$ mentre $E{S_2^2}=sigma^2$
inoltre $Var{S_2^2}=E{[S_2^2-E{S_2^2}]^2}=E{[S_2^2-sigma^2]^2}$
e di conseguenza $Var{S_1^2}=E{[S_1^2-E{S_1^2}]^2}=E{[S_1^2-sigma^2+sigma^2/n]^2}$
ora anche ammettendo che il mio ragionamento sia corretto non saprei come andare avanti...pleaseee aiuto!!
"Vengono impiegati i seguenti due stimatori per stimare la varianza della v.a. gaussiana X sulla base di un campione di determinazioni sperimentali:
$S_1^2=1/n sum_{i=1}^n (x_i- bar x)^2$ --------------- $S_2^2=1/(n-1) sum_{i=1}^n (x_i- bar x)^2$
Si calcolino le varianze di questi due stimatori e se ne individui la maggiore."
Adesso io so come calcolare la media e la varianza di uno stimatore "media" ma non la varianza di uno stimatore "varianza".
Sono comunque arrivato ad alcuni riultati che potrebbero essere utili:
$E{S_1^2}=sigma^2- sigma^2/n$ mentre $E{S_2^2}=sigma^2$
inoltre $Var{S_2^2}=E{[S_2^2-E{S_2^2}]^2}=E{[S_2^2-sigma^2]^2}$
e di conseguenza $Var{S_1^2}=E{[S_1^2-E{S_1^2}]^2}=E{[S_1^2-sigma^2+sigma^2/n]^2}$
ora anche ammettendo che il mio ragionamento sia corretto non saprei come andare avanti...pleaseee aiuto!!
Risposte
"totinaples":
Sono comunque arrivato ad alcuni riultati che potrebbero essere utili:
$E{S_1^2}=sigma^2- sigma^2/n$ mentre $E{S_2^2}=sigma^2$
Non ti far spaventare dal fatto che stai calcolando la "varianza della varianza". In fin dei conti $S_1^2$ e $S_2^2$ sono v.a. esattamente come lo era la media. Invece di chiamarli "varianza" chiamali "Pippo" (in realtà sarebbero "Varianza Campionaria" e "Varianza Campionaria Corretta").
Comunque, detto ciò... ora che hai $E[S_1^2]$ hai immediatamente $Var[S_1^2]=E[S_1^2]-(E[S_1])^2$ (lo trovi sviluppando i quadrati che hai scritto).
ma io infatti non riesco a trovare $E[S_1]$
Ehm... pardon, alla fine sono rimasto invischiato anch'io con la notazione...
Tu devi trovare $Var[S_1^2]=E[(S_1^2)^2]-(E[S_1^2])^2$, (occhio, non devi calcolare $E[S_1]$).
Detto ciò, conosci la distribuzione chi quadro?
Tu devi trovare $Var[S_1^2]=E[(S_1^2)^2]-(E[S_1^2])^2$, (occhio, non devi calcolare $E[S_1]$).
Detto ciò, conosci la distribuzione chi quadro?
si, ha una relazione con $E{(S^2)^2}$ ?
Si, hai che se gli $x_i$ sono distributi in maniera normale (teorema di Cochran)
\(\displaystyle (n-1) \frac{S_2^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\)
ovvero la quantità a Sx segue una distribuzione chi quadro a $n-1$ gradi di libertà.
In questo modo è immediato, ad esempio, che
$E[S_2^2]=E[\frac{\sigma^2}{n-1}\chi_{n-1}^2]=\sigma^2$
mentre invece
$Var[S_2^2]=Var[\frac{\sigma^2}{n-1}\chi_{n-1}^2]=\frac{\sigma^4}{(n-1)^2}Var[\chi_{n-1}^2]=\ldots$
Continua tu. Per $S_1^2$ prova a capire la distribuzione (è facile, considerando quella di $S_2^2$).
\(\displaystyle (n-1) \frac{S_2^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}\)
ovvero la quantità a Sx segue una distribuzione chi quadro a $n-1$ gradi di libertà.
In questo modo è immediato, ad esempio, che
$E[S_2^2]=E[\frac{\sigma^2}{n-1}\chi_{n-1}^2]=\sigma^2$
mentre invece
$Var[S_2^2]=Var[\frac{\sigma^2}{n-1}\chi_{n-1}^2]=\frac{\sigma^4}{(n-1)^2}Var[\chi_{n-1}^2]=\ldots$
Continua tu. Per $S_1^2$ prova a capire la distribuzione (è facile, considerando quella di $S_2^2$).
Io però proprio non riesco a capire....cioè questo che relazione ha con $E{(S^2)^2}$ che è come se fosse $S^4$ ?
No niente lascia stare $E[(S_1^2)^2]$ (il momento secondo non centrato), puoi trovare direttamente la varianza (il momento secondo centrato) usando quella del chi quadro, come ti ho detto prima.
Bene ho capito $S_2^2$... per S1 invece vale questo?
$n (S_1^2)/(sigma^2) = chi^2$ o è sbagliato così?
$n (S_1^2)/(sigma^2) = chi^2$ o è sbagliato così?
"totinaples":
Bene ho capito $S_2^2$... per S1 invece vale questo?
$n (S_1^2)/(sigma^2) = chi^2$ o è sbagliato così?
Giusto.
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