Varianza della Gaussiana
Io so che se Y=X/2 allora Var(Y)=Var(X)/4.
Inoltre so che se Z=X-Y allora Var(Z)=Var(X)+Var(Y) a patto che X e Y siano indipendenti
In un esercizio mi chiedono P(|X-Y|<2)=? con X e Y indipendenti e con E=1 e Var=2
Per risolverlo mi viene naturale pensare di fare P($(X-1)*(sqrt(2))$)<$(2-1)*(sqrt(2))$ così che appunto la Varianza sia 4, MA invece affinchè il risultato sia giusto devo fare P($(X-1)/(sqrt(2))$)<$(2-1)/(sqrt(2))$.
Sapete spiegarmi il perchè? Sbaglio qualcosa proprio a livello concettuale? O è quell'abs che mi incasina tutto?
Inoltre so che se Z=X-Y allora Var(Z)=Var(X)+Var(Y) a patto che X e Y siano indipendenti
In un esercizio mi chiedono P(|X-Y|<2)=? con X e Y indipendenti e con E=1 e Var=2
Per risolverlo mi viene naturale pensare di fare P($(X-1)*(sqrt(2))$)<$(2-1)*(sqrt(2))$ così che appunto la Varianza sia 4, MA invece affinchè il risultato sia giusto devo fare P($(X-1)/(sqrt(2))$)<$(2-1)/(sqrt(2))$.
Sapete spiegarmi il perchè? Sbaglio qualcosa proprio a livello concettuale? O è quell'abs che mi incasina tutto?
Risposte
$$ P(|X-Y| < 2) = P(-2 < X-Y < 2) $$
Se le due variabili sono gaussiane indipendenti con media 1 e varianza 2 allora:
$X-Y \ ~\ N(0, 4)$ per i ragionamenti corretti che hai fatto tu, su media e varianza.
Normalizzando si ottiene $$P(-2 < X-Y < 2) = P(\frac{-2}{2} < \frac{X-Y}{2} < \frac{2}{2} ) = P ( -1 < Z < 1)$$ dove $Z$ é la v.a. normale std.
La soluzione é quindi $\Phi(1) - Phi(-1)$
Se le due variabili sono gaussiane indipendenti con media 1 e varianza 2 allora:
$X-Y \ ~\ N(0, 4)$ per i ragionamenti corretti che hai fatto tu, su media e varianza.
Normalizzando si ottiene $$P(-2 < X-Y < 2) = P(\frac{-2}{2} < \frac{X-Y}{2} < \frac{2}{2} ) = P ( -1 < Z < 1)$$ dove $Z$ é la v.a. normale std.
La soluzione é quindi $\Phi(1) - Phi(-1)$
Chiarissimo, ora mi torna tutto per fortuna. Sono stato abbastanza babbeo da trascurare il valore assoluto.
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo