Varianza Condizionata

[wanderer1]

Ciao a tutti,
di recente il professore di Probabilità e Statistica ha risolto in classe un esercizio che mi ha lasciato perplesso. L'esercizio in questione è il seguente:

Sono date due variabili aleatorie definite da:

$X \ ~ \ N(0, 1)$
$Y|{X=x} \ ~ \ N(x, 2)$

Ovvero $X$ è una normale standard e $Y$ condizionata a $X=x$ è una normale di media $x$ e varianza $2$.
Viene chiesto di calcolare $Var(Y)$

Il mio professore ha applicato la formula della varianza:
$Var(Y) \ = \ E[Var(Y|X)] + Var(E[X|Y])$

Ora per calcolare $E[Var(Y|X)]$ ha fatto il seguente ragionamento:
$E[Var(Y|X)] = E[2] = 2$,
usando la seguente uguaglianza:

$E[Var(Y|X)] = E[Var(Y|X=x)]$

Io mi chiedo però quanto sia generale tale formula.

Abbiamo dimostrato che l'attesa condizionata $E[Y|X]$ si ottiene così:
$f(x) := E[Y|X=x]$
allora $E[Y|X] = f(X)$

possiamo dire lo stesso della varianza condizionata? Ovvero, dato:
$g(x) := Var(Y|X=x)$
è vero che $Var(Y|X) = g(X)$?

EDIT:
inoltre, tornando all'esercizio, perché si può dire che il vettore aleatorio $(X,Y)$ è un vettore gaussiano?

Grazie dell'attenzione

[Lo_zio_Tom]

"wanderer":

Il mio professore ha applicato la formula della varianza:
$Var(Y) \ = \ E[Var(Y|X)] + Var(E[Y|X])$

Le formula che ho citato (a parte un refuso che ho corretto) è la scomposizione della varianza. Ora i parametri della variabile condizionata li sai perché il testo di dà la legge di tale variabile $Y|X=x$

Quindi ovviamente $Var[Y|X=x]=2$, è scritto nella traccia.....quindi $E{Var[Y|X=x]}=2$

l'altro addendo idem con patate.....$E[Y|X]=x$, basta rileggere la traccia....media e varianza della variabile condizionata sono rispettivamente $x$ e $2$

e quindi, sempre dalla traccia, sai anche che $ Var{E[X|Y]}=V[X]=1$

morale della favola....$V[Y]=1+2=3$

In alternativa, ti propongo il seguente approccio nel quale calcolo immediatamente la Legge di Y, e quindi anche i suoi parametri: media e varianza.

$X~ N(0;1)$

$(Y|X=x)~ N(x;2)$

Calcolare la legge di Y

definisco la nuova variabile $W=Y-X$

Ora, per $x$ fissato, $W|X=x$ è ovviamente distribuita come una $ N(0;2)$, e ciò accade $AAx$ quindi abbiamo dimostrato che

$W$ è indipendente da $X$

ma allora posso scrivere anche

$Y=W+X$

che è una somma di gaussiane indipendenti e quindi sarà ancora normale con media somma delle medie ($0+0=0)$ e varianza somma delle varianze $V(Y)=1+2=3$

fallo vedere al tuo prof e vedi che ti dice, ma mi permetto di far notare che il mio approccio è di gran lunga più elegante....

"wanderer":
inoltre, tornando all'esercizio, perché si può dire che il vettore aleatorio $(X,Y)$ è un vettore gaussiano?

basta moltiplicare le due distribuzioni date, manipolarle leggermente in modo algebrico elementare e vedere che il prodotto è proprio una gaussiana bivariata.