Varianza condizionata
Mettiamo conto che abbia una variabile aleatoria continua a media nulla $X$ per cui vale:
$|E[X│X<0] |>|E[X│X>0]$
posso anche dedurne che
$V[X│X<0]>V[X│X>0]$
o non posso dire nulla in tal senso ?
$|E[X│X<0] |>|E[X│X>0]$
posso anche dedurne che
$V[X│X<0]>V[X│X>0]$
o non posso dire nulla in tal senso ?
Risposte
Io penso di no. Si dice che una v.a. è continua quando la sua Cdf è continua. Questo significa che la pdf può essere anche discontinua (purché non abbia discontinuità che accumulano un integrale finito in insiemi a misura nulla, i.e. non ci siano punti in cui ci sta una delta di Dirac). Questo ti dà una certa libertà, se ci pensi.
Pensa alla seguente funzione costante a tratti,
$f(x) = \{(\rho_1, if x_1 - {h_1}/2 < x < x_1 + {h_1}/2),(\rho_2, if x_2 - {h_2}/2 < x < x_2 + {h_2}/2),(0, if \text{altrimenti}):}$
con $h_1 > 0$, $h_2 > 0$, $x_1 + h_1/2 < 0$ e $x_2 - h_2/2 > 0$.
Affinché sia una pdf deve essere sempre positiva, quindi $\rho_1 > 0$ e $\rho_2 > 0$, e sottendere area unitaria, quindi
(1) $\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 = 1$.
È evidente, credo, che si tratti di una pdf "uniforme a tratti" (un rettangolo in $x <0$ e uno in $x > 0$), ed è semplice rendersi conto che $E\{ X | X < 0\} = x_1$ $E\{ X | X > 0\} = x_2$, mentre le varianze sono $Var\{ X | X <0\} = h_1^2/12$ e $Var\{ X | X >0\} = h_2^2/12$.
La rihiesta che la media sia nulla si traduce in
(2) $\rho_1 h_1 x_1 + \rho_2 h_2 x_ 2= 1$.
Per sostituzione della (1) nella (2) si ricava
$\rho_2 h_2 = -x_1/(x_2 - x_1) $
$\rho_1 h_1 = +x_2/(x_2 - x_1) $
La tua ipotesi è che $\abs{x_1} > \abs{x_2}$, ovvero $x_1 + x_2 < 0$, ma questo non dà grosse conseguenze su chi tra $h_1^3$ ed $h_2^3$ sia più grande. Certo, $h_2 <= 2 x_2$, altrimenti sfori sulla semiretta negativa, ma puoi tranquillamente diminuire $h_1$, se aumenti a sufficienza $\rho_1$.
Analogia con la geometria delle masse.
Se ti metti nel centro di massa di due corpi convessi ciascuno a densità costante (e non ti compenetri con alcuno dei due), quello col centro di massa più lontano da te può certamente avere momento d'inerzia minore (quindi volume minore), purché la sua densità sia sufficientemente elevata.
Pensa alla seguente funzione costante a tratti,
$f(x) = \{(\rho_1, if x_1 - {h_1}/2 < x < x_1 + {h_1}/2),(\rho_2, if x_2 - {h_2}/2 < x < x_2 + {h_2}/2),(0, if \text{altrimenti}):}$
con $h_1 > 0$, $h_2 > 0$, $x_1 + h_1/2 < 0$ e $x_2 - h_2/2 > 0$.
Affinché sia una pdf deve essere sempre positiva, quindi $\rho_1 > 0$ e $\rho_2 > 0$, e sottendere area unitaria, quindi
(1) $\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 = 1$.
È evidente, credo, che si tratti di una pdf "uniforme a tratti" (un rettangolo in $x <0$ e uno in $x > 0$), ed è semplice rendersi conto che $E\{ X | X < 0\} = x_1$ $E\{ X | X > 0\} = x_2$, mentre le varianze sono $Var\{ X | X <0\} = h_1^2/12$ e $Var\{ X | X >0\} = h_2^2/12$.
La rihiesta che la media sia nulla si traduce in
(2) $\rho_1 h_1 x_1 + \rho_2 h_2 x_ 2= 1$.
Per sostituzione della (1) nella (2) si ricava
$\rho_2 h_2 = -x_1/(x_2 - x_1) $
$\rho_1 h_1 = +x_2/(x_2 - x_1) $
La tua ipotesi è che $\abs{x_1} > \abs{x_2}$, ovvero $x_1 + x_2 < 0$, ma questo non dà grosse conseguenze su chi tra $h_1^3$ ed $h_2^3$ sia più grande. Certo, $h_2 <= 2 x_2$, altrimenti sfori sulla semiretta negativa, ma puoi tranquillamente diminuire $h_1$, se aumenti a sufficienza $\rho_1$.
Analogia con la geometria delle masse.
Se ti metti nel centro di massa di due corpi convessi ciascuno a densità costante (e non ti compenetri con alcuno dei due), quello col centro di massa più lontano da te può certamente avere momento d'inerzia minore (quindi volume minore), purché la sua densità sia sufficientemente elevata.
Ah, dal discorso che ho fatto forse sembra che la discontinuità della pdf sia in qualche modo necessaria. Non è così. Basti pensare alle funzioni continue a supporto compatto.
Prima di tutto ti ringrazio per la spiegazione.
Se ti va ancora di darmi retta ti vorrei sottoporre un altro quesito, che in realtà è per me retrostante a quello precedente.
Allora considerando una v.a. $X$, per le distribuzioni con asimmetria negativa si ha media < mediana.
Ma allora direi che deve anche valere $P(X<μ)μ)$. (consideriamo le distribuzioni continue cosi che $P(X=μ)=0$ e possiamo usare disuguaglianze strette)
In generale
$E[X]=μ=E[X│X<μ]P(X<μ)+E[X│X>μ]P(X>μ)$
Quindi $μ-E[X│X<μ]P(X<μ)=E[X│X>μ]P(X>μ)$
E allora considerando per semplicità $μ=0$ mi sembra valga
$|E[X│X<0]P(X<0)|=|E[X│X>0]P(X>0) |$
Quindi per le distribuzioni ad asimmetria negativa deduco
$|E[X│X<0] |>|E[X│X>0] |$
Quello che chiedevo sulla varianza era una presunta conseguenza che comunque già non mi convinceva.
Quello che ho scritto sopra ti (vi) sembra corretto ?
Se tolgo la semplificazione $μ=0$ a che forma mi riconduco ?
Se ti va ancora di darmi retta ti vorrei sottoporre un altro quesito, che in realtà è per me retrostante a quello precedente.
Allora considerando una v.a. $X$, per le distribuzioni con asimmetria negativa si ha media < mediana.
Ma allora direi che deve anche valere $P(X<μ)
In generale
$E[X]=μ=E[X│X<μ]P(X<μ)+E[X│X>μ]P(X>μ)$
Quindi $μ-E[X│X<μ]P(X<μ)=E[X│X>μ]P(X>μ)$
E allora considerando per semplicità $μ=0$ mi sembra valga
$|E[X│X<0]P(X<0)|=|E[X│X>0]P(X>0) |$
Quindi per le distribuzioni ad asimmetria negativa deduco
$|E[X│X<0] |>|E[X│X>0] |$
Quello che chiedevo sulla varianza era una presunta conseguenza che comunque già non mi convinceva.
Quello che ho scritto sopra ti (vi) sembra corretto ?
Se tolgo la semplificazione $μ=0$ a che forma mi riconduco ?
Sì, è corretto.
Se togli $\mu = 0$ hai semplicemente $\abs{E{X|X<\mu} - \mu} > \abs{E{X|X>\mu} - \mu}$, che geometricamente ha lo stesso significato e che forse è più chiara definendo come $\mu_{-} = E{X|X<\mu}$ la media dei valori inferiori alla media e con $\mu_{+} = E{X|X>\mu}$ la media dei valori superiori alla media. In questo modo hai $\abs{\mu_{-} - \mu} > \abs{\mu_{+} - \mu}$, cioè la media della parte negativa è "più lontana" dalla media globale di quanto lo sia quella della parte positiva.
Questo risultato però non mi esalta molto
EDIT: in virtù dei segni puoi semplificare ulteriormente la scrittura
$\mu - \mu_{-} > \mu_{+} - \mu$
Se togli $\mu = 0$ hai semplicemente $\abs{E{X|X<\mu} - \mu} > \abs{E{X|X>\mu} - \mu}$, che geometricamente ha lo stesso significato e che forse è più chiara definendo come $\mu_{-} = E{X|X<\mu}$ la media dei valori inferiori alla media e con $\mu_{+} = E{X|X>\mu}$ la media dei valori superiori alla media. In questo modo hai $\abs{\mu_{-} - \mu} > \abs{\mu_{+} - \mu}$, cioè la media della parte negativa è "più lontana" dalla media globale di quanto lo sia quella della parte positiva.
Questo risultato però non mi esalta molto
EDIT: in virtù dei segni puoi semplificare ulteriormente la scrittura
$\mu - \mu_{-} > \mu_{+} - \mu$
E l'unica ipotesi è quella di asimmetria negativa. Per il resto la pdf può essere anche multimodale, nonché presentare delle delta di Dirac qua e là. Tutto, purché la media sia inferiore alla mediana che è la definizione di asimmetria negativa, mi pare, o, se non altro, è a essa equivalente.
Alla grande !!! 
A me si
,
Il risultato è proprio quello che volevo dimostrare
ed il fatto che "non ti piaccia" ... è proprio quello che volevo sentire
infatti quello che volevo dimostrare è proprio che le distribuzioni asimmetriche dei rendimenti sono indesiderabili per un investitore razionale (cosa nota) ... il tutto però a prescindere da perniciose condizioni sulle funzioni di utilità (cosa meno nota).
Grazie
"Aster89":
Questo risultato però non mi esalta molto
A me si
, Il risultato è proprio quello che volevo dimostrare
ed il fatto che "non ti piaccia" ... è proprio quello che volevo sentire
infatti quello che volevo dimostrare è proprio che le distribuzioni asimmetriche dei rendimenti sono indesiderabili per un investitore razionale (cosa nota) ... il tutto però a prescindere da perniciose condizioni sulle funzioni di utilità (cosa meno nota).
Grazie
Scusa solo un attimo, in effetti il risultato nel caso generale $μ!=0$ è intuitivo e l'avevo intuito ... ma probabilmente mi sto rincoglionendo perché nonostante sembri facile non riesco a dimostrarlo 
Precisamente quali sono i passaggi che, in notazione compatta, portano da
$ μ- μ_(-) p(μ_(-)) = μ_(+) p(μ_(+))$
a
$ \abs{\mu_{-} - \mu} > \abs{\mu_{+} - \mu} $
?
... ma probabilmente mi sto rincoglionendo perché nonostante sembri facile non riesco a dimostrarlo Precisamente quali sono i passaggi che, in notazione compatta, portano da
$ μ- μ_(-) p(μ_(-)) = μ_(+) p(μ_(+))$
a
$ \abs{\mu_{-} - \mu} > \abs{\mu_{+} - \mu} $
?
Per la verità io ho preso pari pari questa
e ho applicato una traslazione alla v.a., cioè $f(X) : X \to X+\mu$ e sfruttato la linearità di $E\{\cdot\}$.
Però effettivamente.. bah. Forse ora non sono concentrato.
Comunque una conversazione a 2 non è infrequente che porti a conclusioni sbagliate
. Fossi in te scriverei a un moderatore per guidare qualcuno qua ad esprimere altre opinioni.
"markowitz":
$|E[X│X<0] |>|E[X│X>0] |$
e ho applicato una traslazione alla v.a., cioè $f(X) : X \to X+\mu$ e sfruttato la linearità di $E\{\cdot\}$.
Però effettivamente.. bah. Forse ora non sono concentrato.
Comunque una conversazione a 2 non è infrequente che porti a conclusioni sbagliate
. Fossi in te scriverei a un moderatore per guidare qualcuno qua ad esprimere altre opinioni.
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