Varianza campionaria - formula ricorsiva (che non so dim...)

[Ale831]

Sono dati $n$ valori $x_1, ... , x_n$, la loro media campionaria $m_n$ e varianza campionaria $s_n^2$.

ATTENZIONE: qui si intende la varianza campionaria su $n$ valori definita come $s_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - m_n)^2$

Diventa disponibile il valore $(n+1)$-esimo.

a) Trovare $m_{n+1}$ usando $m_n$ e $x_{n+1}$

(Questo è facile: $m_{n+1} = \frac{n m_n + x_{n+1}}{n+1}$)

b) Dimostrare che $s_{n+1}^2 = \frac{n-1}{n}s_n^2 + \frac{1}{n+1}(x_{n+1} - m_n)^2$

(E qui non ne esco. Sono partito da $s_{n+1}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n+1} (x_i - m_{n+1})^2$ e poi ho cercato di spezzare la sommatoria separando il termine $(n+1)$-esimo, l'ultimo insomma. Però non mi torna il secondo pezzo della soluzione! )

Che dite, o luminari?

[DavideGenova1]

Cercando in Internet una dimostrazione della formula ricorsiva per il calcolo della varianza campionaria, che il testo che sto seguendo, il Ross, enuncia senza dimostrare, mi sono imbattuto in questo thread senza risposta.
Espongo perciò quello che mi sembra il risultato cui sono arrivato io...\[s_{n+1}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n+1}( x_i-m_n+m_n-m_{n+1})^2\]\[=\frac{1}{n}\Big( \sum_{i=1}^{n}(x_i-m_n)^2+(x_{n+1}-m_n)^2+2(m_n-m_{n+1})\sum_{i=1}^{n+1}(x_i-m_n)+(n+1)(m_{n+1}-m_n)^2\Big)\]\[=\frac{n-1}{n}s_n^2+\frac{1}{n}((n+1)^2(m_{n+1}-m_n)^2+2(m_n-m_{n+1})(x_{n+1}-m_n)+(n+1)(m_{n+1}-m_n)^2)\]\[=\frac{n-1}{n}s_n^2+(n+1)(m_{n+1}-m_n)^2\]
dove ho utilizzato l'identità (a) e il fatto che $\sum_{i=1}^{n}(x_i-m_n)=0$.
So che spesso è fuori luogo necropostare, ma qui, anche perché stavo per riporre la stessa domanda, ma forse ne sono venuto a capo, credo che possa avere una qualche utilità.
Mi scuso con i moderatori se così non fosse...