Varianza aritmetica

[chester92]

Ciao, ho questo dubbio: nel calcolo della varianza aritmetica, ossia tramite [tex]\sum_1^n (x_i - \bar{x})^2[/tex] alla fine questa quantità occorre dividerla per [tex]n[/tex] o [tex]n-1[/tex]? La formula che ho trovato dice n, ma io mi trovo che dovrebbe essere n-1 , infatti prendiamo ad esempio 1 2 e 3: la media è 2, mentre la varianza si vede ad occhio che è 1! Quest'ultimo valore si ottiene solo se si divide per n-1=2 ...

[cenzo1]

Dipende.
Se fai statistica descrittiva sui dati o quei dati rappresentano tutta la popolazione, si divide per $n$.
(in modo coerente con la definizione di varianza).

Se invece quei dati provengono da un campione e vuoi stimare la varianza della popolazione, per avere una stima corretta (non distorta) occorre dividere per $n-1$.
Dai uno sguardo su wiki.

[chester92]

Scusa potresti spiegarti meglio?Anche la wiki presuppone concetti avanzati di statistica (che a me non servono) mentre per me la varianza non è altro che una semplice misura di quanto un insieme di dati si discosta dal valor medio...
A me interesserebbe il significato logico...qual'è la differenza tra le 2 quantità?Nella wiki dice che lo stimatore ottenuto con n-1 ha un valore atteso che è proprio la varianza...ma allora quell'altro cos'è??E perché si usa se io è proprio la varianza che voglio trovare??

[cenzo1]

"chester92":Scusa potresti spiegarti meglio?Anche la wiki presuppone concetti avanzati di statistica (che a me non servono) mentre per me la varianza non è altro che una semplice misura di quanto un insieme di dati si discosta dal valor medio...
A me interesserebbe il significato logico...qual'è la differenza tra le 2 quantità?Nella wiki dice che lo stimatore ottenuto con n-1 ha un valore atteso che è proprio la varianza...ma allora quell'altro cos'è??E perché si usa se io è proprio la varianza che voglio trovare??

Supponi di voler calcolare la varianza dell'altezza \(X\) di tutta la popolazione italiana ( \(N\) individui). La formula da usare sarebbe:
\[ Var(X)=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i- \mu)^2}{N} \ \ (1) \]
dove con \( \mu \) ho indicato la media della popolazione.
Sarebbe però un'operazione lunga e costosa misurare l'altezza di circa \(N=60\) milioni di individui!
Decidiamo allora di estrarre dalla popolazione un campione di \(n=1000\) individui.
La varianza dell'altezza nel campione è:
\[ \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i- \bar x)^2}{n} \ \ (2)\]
dove con \( \bar{x} \) ho indicato la media del campione.
Domanda: avendo solo la varianza del campione (2), riusciamo a capire quanto vale la varianza nell'intera popolazione (1) ?
In altri termini: la varianza del campione (2) è una buona stima della varianza della popolazione (1) ?
Tieni presente che la varianza (1) è un numero che non conosciamo, mentre la varianza (2) è variabile a seconda del particolare campione che ci è capitato di estrarre.
Al variare dei possibili campioni di numerosità $n$ che possiamo estrarre dalla popolazione $N$, il valore ottenuto in (2) è una stima della varianza della poplazione (1).
Si dimostra che tale stima non è corretta, cioè, in media, non otteniamo esattamente la varianza della popolazione (1).
Per avere una stima corretta della varianza della popolazione (1), utilizzando un campione, occorre apportare la correzione al denominatore e dividere per $n-1$:
\[ \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i- \bar x)^2}{n-1} \]
La dimostrazione che questo stimatore è corretto, la puoi vedere su wiki.

Ovvio che se abbiamo la possibilità di misurare tutta la popolazione usiamo la (1).

[chester92]

Una risposta chiarissima, mi hai tolto ogni dubbio!
Grazie mille!