Variabili casuali distribuite uniformemente

[roberta.cisotti.3]

Si consideri un punto $z$ di coordinate $(x,y)$ preso a caso nel piano complesso. Si consideri il triangolo di vertici $(2,0), (-1+sqrt(3) i), (-1-sqrt(3)i)$. Sia $fxy$ la distribuzione di probabilità delle coordinate del punto z, uniforme all'interno del triangolo e nulla fuori.

Vorrei calcolare le ddp $fx$ e $fy$ e la ddp di $W=X/Y$.

Per calcolare $fxy$ calcolo l'area del triangolo e faccio il reciproco, quindi $fxy=1/(3sqrt(3))$.
Poi trovo le rette $y=-sqrt(3)/3x+2/3sqrt(3)$ e $y=sqrt(3)/3x-2/3sqrt(3)$.
Quindi integro $fxy$ fra queste due rette e trovo $fx=-2/9x+4/9$.
Lo stesso dovrei fare per $fy$, integrando tra $x=2+sqrt(3)y$ e $x=2-sqrt(3)y$. Trovo $fy=2/3y$.
Ora mi chiedo, è giusto come procedimento o sto sbagliando qualcosa?
E come dovrei procedere per trovare la distribuzione di $W$?.

[roberta.cisotti.3]

Quindi devo integrare la $y$ tra $0$ e $2-sqrt(3)y$ e poi tra $2+sqrt(3)y$ e $0$?
In questo modo ottengo $fy=-2/3y$.
E come mai la $y$ va spezzata mentre la $x$ no? Perchè è simmetrica rispetto all'asse delle x?

[roberta.cisotti.3]

Ok quindi ho ottenuto che $fy=(sqrt(3)+y)/3$ per $-sqrt(3)<=y<=0$ e $fy=(sqrt(3)-y)/3$ per $0<=y<=sqrt(3)$.
Per quanto riguarda il teorema fondamentale di trasformazione, potresti darmi un input perchè sinceramente è una parte che non ho capito bene?

[roberta.cisotti.3]

Ma devo integrare la y tra 0 e w e la x tra 0 e wy?