Variabili casuali composte e densità di probabilità

[ghiozzo1]

Ho un esercizio di cui non ho le soluzioni, l'ultimo quesito però non riesco a proprio a farlo.

Sono date due variabili casuali $X$ e $Y$ con densità di probabilità costante in $[-1,1]$x$[0,1]$ ed è definita la variabile casuale $Z=XY$. Calcolare $E[Z], E[Z^2], P[Z<0], f_z(z).$

Ho verificato che le due variabili $X$ e $Y$ sono indipendenti fra loro e mi risulta:
$f_(x,y)(x,y)=1/2$
$E[X]=0$
$E[Y]=1/2$
$E[Z]=0*1/2=0$
$E[Z^2]=1/9$
$P[Z<0]=1/2$

Ma la distribuzione di probabilità di Z non so proprio come calcolarla Potete verificare i risultati che vi ho detto e darmi una dritta su come trovare $f_z(z)$? Grazie mille!

[DajeForte]

Controllando velocemente i risultati mi torna tutto.

Parti trovando l'insieme che Z può assumere. Poi $z<0$ determina la regione di piano che verifica questo; poi considera $XY integra la densità doppia nela regione opportuna.
Lo stesso per z>0.