Variabili aleatorie: perché scegliamo sempre {X<=x}
Sono sicuro sia una domanda banale, ma perché di norma per la funzione di distribuzione scegliamo sempre $ { X \leq x }$ ovvero l'intervallo $(-oo ,x]$?
Risposte
Ti faccio un esempio tratto dal Baclawski-Cerasoli-Rota: se [tex]$(X=r)$[/tex] è l'evento di scegliere un punto [tex]$P$[/tex] a distanza [tex]$r$[/tex] da un fissato vertice di un quadrato di lato [tex]$1$[/tex], le probabilità [tex]$\forall r\in[0;\sqrt{2}],\,p(X=r)=0$[/tex], mentre [tex]$\forall r\in(0;\sqrt2),\,0
EDIT Corretto la successione temporale delle azioni da farsi!
EDIT Corretto la successione temporale delle azioni da farsi!
un esempio un po' più elementare? 
Oggi ho iniziato quest'argomento, per cui... aspettiamo qualcun'altro!
Io personalmente lo trovo elementare; basta un minimo di ragionamento.
Io personalmente lo trovo elementare; basta un minimo di ragionamento.
"Calandra":
Sono sicuro sia una domanda banale, ma perché di norma per la funzione di distribuzione scegliamo sempre $ { X \leq x }$
Non sono sicuro di avere capito la domanda.
Secondo me perchè è coerente con i teoremi del calcolo integrale.
$P(a
Dove appunto $F(x)=P(X<=x)$
Se invece definisci $H(x)=P(X>x)$, poi risulta $P(a
(c'è una inversione tra a e b)
@j18eos: non capisco molto la connessione tra esempio e domanda.
@Calandra: La tua domanda è: perchè la funzione di ripartizione è definita così $F(x)=P(X<=x)$?
Diciamo che è una convenzione; ovvero così facendo $F$ è una funzione da $RR$ in $[0,1]$ e mediante questa funzione di una sola variabile riesci a definire la distribuzione della v.a..
@Calandra: La tua domanda è: perchè la funzione di ripartizione è definita così $F(x)=P(X<=x)$?
Diciamo che è una convenzione; ovvero così facendo $F$ è una funzione da $RR$ in $[0,1]$ e mediante questa funzione di una sola variabile riesci a definire la distribuzione della v.a..
Sì, esatto, mi chiedevo perhé tra i tanti intervalli sceglievamo proprio quello.
@DajeForte Nel caso di variabili aleatorie discrete si usa direttamente il simbolo di eguaglianza, se ciò lo volessimo mantenere anche per definire la funzione di distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria generica si potrebbe ottenere la funzione costantemente nulla; come ho mostrato, quindi si deve cambiare qualcosa!
Se si volesse scendere più fondo per capire ciò si dovrebbe ragionare coi boreliani, cosa che non mi riesce a quest'ora!
Se si volesse scendere più fondo per capire ciò si dovrebbe ragionare coi boreliani, cosa che non mi riesce a quest'ora!
In che senso con i boreliani?
Riprendendo l'esempio del punto a caso in un quadrato [tex]$Q$[/tex] il cui lato ha lunghezza [tex]$a$[/tex], è naturale scegliere come spazio campione [tex]$\Omega\equiv[0;a]\times[0;a]$[/tex], per [tex]$\sigma$[/tex]-algebra degli eventi la famiglia [tex]$\mathcal{B}_{\Omega}$[/tex] dei boreliani su [tex]$\Omega$[/tex] e per probabilità la misura di Lebesgue [tex]$\lambda$[/tex] su [tex]$\Omega$[/tex] normalizzata.
Così scelti si ha che [tex]$(\Omega;\mathcal{B}_{\Omega};\lambda)$[/tex] è uno spazio di probabilità; sia [tex]$X$[/tex] una v.a su [tex]$\Omega$[/tex] a valori in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], per definizione [tex]$X$[/tex] è una funzione misurabile; ovvero, le anti-immagini dei boreliani di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] mediante [tex]$X$[/tex] sono elementi di [tex]$\mathcal{B}_{\Omega}$[/tex]. Poiché la [tex]$\sigma$[/tex]-algebra dei boreliani di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] è generata dagl'insiemi [tex]$(-\infty;b]$[/tex], conoscendo gli eventi [tex]$(X\in(-\infty;b])\equiv(X\leq b)$[/tex] con le relative probabilità si può dire di "conoscere" la v.a. [tex]$X$[/tex].
Ciò si può naturalmente estendere ad un qualsiasi spazio di probabilità [tex]$(\Omega;\mathcal{E};p)$[/tex]!
Vi torna od ho scritto delle inesattezze\falsità?
Così scelti si ha che [tex]$(\Omega;\mathcal{B}_{\Omega};\lambda)$[/tex] è uno spazio di probabilità; sia [tex]$X$[/tex] una v.a su [tex]$\Omega$[/tex] a valori in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], per definizione [tex]$X$[/tex] è una funzione misurabile; ovvero, le anti-immagini dei boreliani di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] mediante [tex]$X$[/tex] sono elementi di [tex]$\mathcal{B}_{\Omega}$[/tex]. Poiché la [tex]$\sigma$[/tex]-algebra dei boreliani di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] è generata dagl'insiemi [tex]$(-\infty;b]$[/tex], conoscendo gli eventi [tex]$(X\in(-\infty;b])\equiv(X\leq b)$[/tex] con le relative probabilità si può dire di "conoscere" la v.a. [tex]$X$[/tex].
Ciò si può naturalmente estendere ad un qualsiasi spazio di probabilità [tex]$(\Omega;\mathcal{E};p)$[/tex]!
Vi torna od ho scritto delle inesattezze\falsità?
"j18eos":
Riprendendo l'esempio del punto a caso in un quadrato [tex]$Q$[/tex] il cui lato ha lunghezza [tex]$a$[/tex], è naturale scegliere come spazio campione [tex]$\Omega\equiv[0;a]\times[0;a]$[/tex], per [tex]$\sigma$[/tex]-algebra degli eventi la famiglia [tex]$\mathcal{B}_{\Omega}$[/tex] dei boreliani su [tex]$\Omega$[/tex] e per probabilità la misura di Lebesgue [tex]$\lambda$[/tex] su [tex]$\Omega$[/tex] normalizzata.
Così scelti si ha che [tex]$(\Omega;\mathcal{B}_{\Omega};\lambda)$[/tex] è uno spazio di probabilità; sia [tex]$X$[/tex] una v.a su [tex]$\Omega$[/tex] a valori in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], per definizione [tex]$X$[/tex] è una funzione misurabile; ovvero, le anti-immagini dei boreliani di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] mediante [tex]$X$[/tex] sono elementi di [tex]$\mathcal{B}_{\Omega}$[/tex]. Poiché la [tex]$\sigma$[/tex]-algebra dei boreliani di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] è generata dagl'insiemi [tex]$(-\infty;b]$[/tex], conoscendo gli eventi [tex]$(X\in(-\infty;b])\equiv(X\leq b)$[/tex] con le relative probabilità si può dire di "conoscere" la v.a. [tex]$X$[/tex].
Ciò si può naturalmente estendere ad un qualsiasi spazio di probabilità [tex]$(\Omega;\mathcal{E};p)$[/tex]!
Vi torna od ho scritto delle inesattezze\falsità?
è giusto... è per questo che si usano le semirette chiuse. In questo modo, dal momento che esse sono una base per i boreliani, conoscendo la funzione di distribuzione di una v.a. ci permette di conoscere completamente la sua legge e quindi trarre tutte le informazioni che vogliamo su di essa.
In analisi però spesso mi è capitato di considerare $\mu(f>\lambda)$, ma è solo questione di preferenze sui dettagli
Ero troppo convinto, per cui ho preferito avere una conferma; grazie fu^2!
Però non direi che sia un dettaglio la scelta fatta considerata la spiegazione di cenzo.
Però non direi che sia un dettaglio la scelta fatta considerata la spiegazione di cenzo.
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