Variabili aleatorie Non Correlate ma Dipendenti
Salve a tutti,
sto cercando di farmi un esempio per dimostrare che 2 variabili aleatorie non correlate possono essere dipendenti. Poiché non mi viene in mente nessun esempio ho cercato un po' su internet... ho trovato un esempio ma ci sono un paio di passaggi che non capisco, potreste spiegarmeli per favore?
Esempio di variabili aleatorie non correlate ma dipendenti in cui non ho capito 3 passaggi (li ho indicati con -------->):
$X$ uniformemente distribuita su ${-1,0,1}$
$Y = |X|$ su ${0,1}$
il loro prodotto è $XY = X|X| = X$ --------> In questo passaggio non capisco perché $X*|X|=X$ e non $X*|X|=X^2$
hai le speranze $E[XY]=E[X]=0$, $E[Y]=2/3$ -------> Scusate, ma non riesco proprio a capire il calcolo che è stato svolto: perché $E[XY]=0$ e non è $1/9$?
quindi la covarianza è $cov(X,Y) = E[XY] - E[X]*E[Y] = 0$ e le due variabili aleatorie sono non correlate.
Ma non sono indipendenti:
$P(X=1) * P(Y=0) = 1/9$
$P(X=1,Y=0)=0$ ------------> Anche queso risultato ottenuto mi è abbastanza oscuro... capisco che essendo dipendenti o si verifica $X=1$ o si verifica $Y=0$, ma dal punto di vista matematico che calcolo è stato fatto?
Se avete altri esempi da propormi mi farebbe piacere conoscerli
sto cercando di farmi un esempio per dimostrare che 2 variabili aleatorie non correlate possono essere dipendenti. Poiché non mi viene in mente nessun esempio ho cercato un po' su internet... ho trovato un esempio ma ci sono un paio di passaggi che non capisco, potreste spiegarmeli per favore?
Esempio di variabili aleatorie non correlate ma dipendenti in cui non ho capito 3 passaggi (li ho indicati con -------->):
$X$ uniformemente distribuita su ${-1,0,1}$
$Y = |X|$ su ${0,1}$
il loro prodotto è $XY = X|X| = X$ --------> In questo passaggio non capisco perché $X*|X|=X$ e non $X*|X|=X^2$
hai le speranze $E[XY]=E[X]=0$, $E[Y]=2/3$ -------> Scusate, ma non riesco proprio a capire il calcolo che è stato svolto: perché $E[XY]=0$ e non è $1/9$?
quindi la covarianza è $cov(X,Y) = E[XY] - E[X]*E[Y] = 0$ e le due variabili aleatorie sono non correlate.
Ma non sono indipendenti:
$P(X=1) * P(Y=0) = 1/9$
$P(X=1,Y=0)=0$ ------------> Anche queso risultato ottenuto mi è abbastanza oscuro... capisco che essendo dipendenti o si verifica $X=1$ o si verifica $Y=0$, ma dal punto di vista matematico che calcolo è stato fatto?
Se avete altri esempi da propormi mi farebbe piacere conoscerli
Risposte
Ho letto il tuo post al link indicato, sì hai ragione, mi è stato molto utile!
Ti ringrazio dissonance!
Per favore, chiedo un ultimo chiarimento sulla dipendenza dell'esempio del link:
$P(X=1)*P(Y=X^2=4)=1/4*1/2=1/8$ e dovrei aver fatto bene...
mentre questo dovrebbe essere $P(X=1,Y=X^2=4)=0$ perché $X$ assume o valore $1$ o assume $sqrt(X^2)=sqrt(2^2)$ cioè $X=2$ ... o il procedimento matematico per arrivare al risultato è diverso?
Ti ringrazio dissonance!
Per favore, chiedo un ultimo chiarimento sulla dipendenza dell'esempio del link:
$P(X=1)*P(Y=X^2=4)=1/4*1/2=1/8$ e dovrei aver fatto bene...
mentre questo dovrebbe essere $P(X=1,Y=X^2=4)=0$ perché $X$ assume o valore $1$ o assume $sqrt(X^2)=sqrt(2^2)$ cioè $X=2$ ... o il procedimento matematico per arrivare al risultato è diverso?
No, è giusto. Per dirla ancora meglio, gli eventi $X=1, X^2=4$ sono mutuamente esclusivi, quindi $P(X=1, X^2=4)=0$. Ma insomma, ci siamo capiti.
Del resto è ovvio che se hai una v.a. $X$ e una funzione di $X$, diciamo $Y=f(X)$, a parte casi strabanali $X, Y$ non sono indipendenti. Ma il coefficiente di correlazione ti misura solo il grado di dipendenza lineare, quindi se c'è una correlazione non lineare come $f(X)=X^2$, ecco che va in tilt.
Del resto è ovvio che se hai una v.a. $X$ e una funzione di $X$, diciamo $Y=f(X)$, a parte casi strabanali $X, Y$ non sono indipendenti. Ma il coefficiente di correlazione ti misura solo il grado di dipendenza lineare, quindi se c'è una correlazione non lineare come $f(X)=X^2$, ecco che va in tilt.
Perfetto! Grazie del chiarimento e anche dell'approfondimento sul coefficiente di correlazione! Tutto chiaro
Grazie dissonance!
Grazie dissonance!
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