Variabili aleatorie: legge, distribuzione e densità
Ciao ragazzi, non riesco a capire bene la differenza tra queste 3 caratteristiche delle variabili aleatorie:
legge di una v.a. è la probabilità associata a tutti i valori della v.a.
funzione di distribuzione $F(t)=P(X<=t)$
densità di X $p(x)=P(X=x)
soprattutto non riesco a capire la differenza tra la legge e la densità di una v.a. X (mi sembrano la stessa cosa
)
Qualcuno può schiarirmi un pò le idee
grazie
legge di una v.a. è la probabilità associata a tutti i valori della v.a.
funzione di distribuzione $F(t)=P(X<=t)$
densità di X $p(x)=P(X=x)
soprattutto non riesco a capire la differenza tra la legge e la densità di una v.a. X (mi sembrano la stessa cosa
)Qualcuno può schiarirmi un pò le idee
grazie
Risposte
Densità e legge di una v.a. sono correlate, ma non la stessa cosa.
Penso che avrai sentito parlare, ad esempio, di legge (o distribuzione) binomiale, o bernoulliana.
Ad ognuna di queste leggi è associata una precisa densità [tex]p(x)=P(X=x)[/tex] (dove [tex]X[/tex] è la v.a. che stiamo considerando),
quindi, in altre parole, si può dire che la densità dipende dal tipo di legge (o distribuzione) seguita dalla v.a. [tex]X[/tex].
Poi, oltre alle leggi "note", ci sono altre leggi che non hanno un nome, ma comunque ad esse è associata una densità.
Per quanto riguarda la funzione di distribuzione invece, che tipo di dubbi hai?
Penso che avrai sentito parlare, ad esempio, di legge (o distribuzione) binomiale, o bernoulliana.
Ad ognuna di queste leggi è associata una precisa densità [tex]p(x)=P(X=x)[/tex] (dove [tex]X[/tex] è la v.a. che stiamo considerando),
quindi, in altre parole, si può dire che la densità dipende dal tipo di legge (o distribuzione) seguita dalla v.a. [tex]X[/tex].
Poi, oltre alle leggi "note", ci sono altre leggi che non hanno un nome, ma comunque ad esse è associata una densità.
Per quanto riguarda la funzione di distribuzione invece, che tipo di dubbi hai?
Vediamo se ho capito bene:
la legge di una v.a. ci indica il comportamento della v.a. in quanto essa è una funzione che associa a tutti i valori che può assumere la v.a., le rispettive probabilità.
la legge può essere di un tipo noto: legge binomiale, geometrica ecc
in più possiamo conoscere la probabilità che una v.a. assuma un certo valore x, tramite la densità della v.a. (se siamo in un caso noto, lo possiamo fare tramite le formule di densità binomiale, geometrica ecc)
tutto corretto?
la legge di una v.a. ci indica il comportamento della v.a. in quanto essa è una funzione che associa a tutti i valori che può assumere la v.a., le rispettive probabilità.
la legge può essere di un tipo noto: legge binomiale, geometrica ecc
in più possiamo conoscere la probabilità che una v.a. assuma un certo valore x, tramite la densità della v.a. (se siamo in un caso noto, lo possiamo fare tramite le formule di densità binomiale, geometrica ecc)
tutto corretto?
"Tommy86":
in più possiamo conoscere la probabilità che una v.a. assuma un certo valore x, tramite la densità della v.a.
Bisogna aggiungere però che questo ha senso solo nel caso di v.a. discrete. Sapresti motivare questa cosa?
Comunque tutto corretto
Ho iniziato da poco le v.a. continue (non senza difficoltà 
), ed effettivamente questa cosa non la saprei motivare,
potresti illuminarmi ?
), ed effettivamente questa cosa non la saprei motivare,potresti illuminarmi ?
Ti accenno che per una variabile aleatoria [tex]X[/tex] continua, la funzione di distribuzione (o funzione di ripartizione) è definita così
[tex]$ F(x)=\int_{- \infty}^x f(x) dx$[/tex] dove [tex]f(x)[/tex] rappresenta una densità continua
Ora, se ad esempio vuoi calcolare la probabilità che [tex]X \in [a,b][/tex], risulta
[tex]$
P(a \le X \le b)= \int_{- \infty}^b f(x) dx - \int_{- \infty}^a f(x) dx = \int_{a}^b f(x) dx$[/tex]
di conseguenza, ponendo [tex]a=b[/tex], allora [tex]$ P(X=a)=\int_{a}^a f(x) dx = 0$[/tex]
[tex]$ F(x)=\int_{- \infty}^x f(x) dx$[/tex] dove [tex]f(x)[/tex] rappresenta una densità continua
Ora, se ad esempio vuoi calcolare la probabilità che [tex]X \in [a,b][/tex], risulta
[tex]$
P(a \le X \le b)= \int_{- \infty}^b f(x) dx - \int_{- \infty}^a f(x) dx = \int_{a}^b f(x) dx$[/tex]
di conseguenza, ponendo [tex]a=b[/tex], allora [tex]$ P(X=a)=\int_{a}^a f(x) dx = 0$[/tex]
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