Variabili Aleatorie: Esercizio Teorico

[Nulier]

Direttamente dal mio secondo esonero di Probabilità I, sperando che voi siate più navigati di me al punto da circumnavigare lo scoglio del punto c):

Sia $(X_{k})_{k\in\mathbb{N}_{+}$ una successioni di variabili aleatorie indipendenti, continue, tutte con la stessa legge che ammette densità di probabilità
$
f(x)=\frac{1}{\pi(x-x^2)^{1/2}}\mathbb{1}_{(0,1)(x)
$
Per $n\in\mathbb{N}_{+}$ sia ora $m_{n}:=min(X_[1},...,X_{n})$.
a) Senza necessariamente svolgere gli integrali, determinare la funzione di ripartizione e la densità di probabilità della legge di $m_{n}$.
b) Mostrare che $m_{n}\rightarrow0$ in probabilità quando $n\rightarrow +\infty$.
c) Caratterizzare il limite in legge della variabile $n^2m_{n}$, quando $n\rightarrow +\infty$.
d) Sia ora $M_{n}:=max(X_{1},\...,X_{n})$. Senza svolgere calcoli, mostrare che $M_{n}$ converge ad 1 in probabilità. Determinare quindi (sempre senza svolgere calcoli) una successione $(\alpha_{n})$ di numeri reali tali che $\alpha_{n}(1-M_{n})$ converga in legge ad una variabile aleatoria non costante quando $n\rightarrow +\infty$.

[hamming_burst]

Ciao,
quale è lo scoglio per cui non ti butti?
forse chi vorrà risponderti ti saprà spiegare maggiormente partendo dal tuo dubbio.

[Nulier]

Come caratterizzare il limite in legge della VA del punto c fondamentalmente.

[retrocomputer]

E i primi due punti come li hai risolti?