Variabili Aleatorie Continue

[MissFoxy394]

Il testo dell'esercizio è questo:

Sia X una v.a. assolutamente continua con densità:

$ f(x)= { ( 1/x ),( 0 ):} $
$ f(x)= 1/x $ se $ x in (1,e) $
0 altrove

a) trovare la Funzione di ripartizione di X.
b) Determinare $ a in R $ tale che $ P{X < a} = 1/2 $ . (il numero a è la mediana della distribuzione)


Per il punto a) ho calcolato l'integrale della f(x) della densità ed è venuta:

$ F(X) = { ( lnx ),( 0 ):} $

Per il punto b)

$ E[X] = int_(-oo )^(+oo) xf(x) dx = a $ più nello specifico: $ int_(0 )^(a) x1/x dx = a $

quindi $ P{X
Non sono sicura si averlo risolto correttamente..

[Lo_zio_Tom]

dunque ci sono diversi errori nello svolgimento

Prima di tutto la FdR è definita su tutto l'asse reale, è una funzione $F: RR rarr [0;1]$ quindi si può correttamente definire così:

$F_X(x)-={{: ( 0 , ;x<1),( logx , ;1<=x=e ) :}$

così è giusta. Oppure puoi scrivere la stessa cosa in forma compatta


$F_X(x)=logxI_([1;e))(x)+I_([e;+oo))(x)$

La scrittura $F(X)$ pure è sbagliata perché la X maiuscola indica la variabile e si mette al pedice mentre la x minuscola indica il valore che la variabile assume e lo si mette tra parentesi, così $F_X(x)$

A volte, per semplicità si indica semplicemente $F(x)$, sottintendendo la variabile al pedice ma mai $F(X)$.

Sempre per semplicità, potresti dire che la FdR è $F(x)=logx$ (sottintendendo che la F vale zero per $x<1$ e 1 per $x>e$) ma se ti chiede esplicitamente di definire la FdR devi fare come ti ho scritto....anche perché da come l'hai scritta tu non si capisce dove valga 1, 0 oppure $logx$

"MissFoxy":

$ F(X) = { ( lnx ),( 0 ):} $

...anzi, leggendo quello che hai scritto sembra quasi che tu intenda $logx$ in un certo intervallo e zero altrove...ma questa non è una densità, è una cosa diversa...

Veniamo al calcolo della media (che è sbagliato e comunque non richiesto)

$E[X]=int_(Omega)xdF=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx$

ma nel caso in esame il dominio è $[1;e]$ quindi la media viene

$int_(1)^(e)dx=e-1~~1.71$

Per il calcolo della mediana, avendo già calcolato $F(x)=logx$ non è necessario risolvere alcun integrale, basta fare


$logx=1/2 rarr x=sqrt(e)~~1.65$

Ovvero un po' meno della media; se proprio vuoi risolvere l'integrale devi fare così

$int_(1)^(a)1/xdx=1/2 rarr a=sqrt(e)$

tu hai impostato $int_0^(a)1/x$ ma questo integrale non converge.....stai integrando fuori dal dominio della variabile

saluti