Variabili aleatorie binomiali

[frons79]

Un certo componente elettronico è correttamente funzionante al 90% dei casi se prodotto dalla ditta A, e al 60% dei casi se prodotto dalla ditta B. Si ha a disposizione una scatola contenente 5 pezzi, della quale si ignora la provenienza e che, a priori, potrebbe provenire con la stessa probabilità sia da A che da B. Dopo aver verificato i pezzi, si riscontra che di essi 3 sono correttamente funzionanti. Stabilire, giustificandone il motivo, se sia più verosimile che i pezzi contenuti nella scatola siano stati prodotti dalla ditta A o dalla ditta B.

Ho pensato a due variabili binomiali (una riferita ad A, l'altra a B) per poi calcolare le rispettive probabilità e confrontarle tra loro.

Per quanto riguarda la prima casistica, \(\displaystyle \beta_{A}(5, 0.9) \) \[\displaystyle P(K_A)= \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} = {10}*{0.9}^3*{0.1}^2 = 0.0729 \]
Per la seconda \(\displaystyle \beta_{B}(5, 0.6) \) \[\displaystyle P(K_B)= \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} = {10}*{0.6}^3*{0.4}^2 = 0.3456 \]

Messa in questi termini, la conclusione sarebbe che i pezzi provengano dalla ditta B con probabilità maggiore che dalla ditta A, tuttavia, premesso che non so se l'impostazione iniziale sia legittima e corretta, mi sarei aspettato il risultato opposto!

Dove sta la fregatura?

[frons79]

"Sergio":Mai sentito parlare del teorema di Bayes?

Si, e come dovrebbe aiutarmi a rispondere alla mia domanda?

[frons79]

Non ho familiarità con il Teorema di Bayes, ma utilizzandolo come suggerito, sono giunto alle seguenti conclusioni:

\(\displaystyle E_1 \): i pezzi provengono dalla ditta A
\(\displaystyle E_2 \): i pezzi provengono dalla ditta B
\(\displaystyle A \): i pezzi funzionano

\(\displaystyle P(E_2 | A)= \frac{P(A|E_2) P(E_2)}{P(A)} = 50{\%} \)
\(\displaystyle \)
\(\displaystyle P(E_1 | A)= \frac{P(A|E_1) P(E_1)}{P(A)} = 75{\%} \)

E' giusto, come procedimento?

[manfredi92]

Più o meno..ma sbagli qualcosa

A = I pezzi provengono da A
B = I pezzi provengono da B
F = Il componente funziona

$P(A) = 1/2$

$P(B) = 1/2$

$P(F|A) = 0.90$

$P(F|B) = 0.60$

$P(F) = P(A)*P(F|A) + P(B)*P(F|B) = 0.5*0.9 + 0.5*0.6 = 0.75$

$P(A|F) = (P(A)*P(F|A))/(P(F)) = (0.5*0.9)/(0.75) = 0.6$

$P(B|F) = (P(B)*P(F|B))/(P(F)) = (0.5*0.6)/(0.75) = 0.4 $

[frons79]

"Sergio":Scusami, sono stato troppo frettoloso e ti ho portato fuori strada.
Mi era sfuggita una parola chiave: verosimiglianza.
Il tuo approccio iniziale era quello corretto (variabili binomiali), e anche il suo svolgimento.

Figurati, io il procedimento iniziale l'avevo impostato un po' "a naso", non avevo dato per nulla peso alla parola verosimiglianza

"Sergio":Se la probabilità di successo è 0.9, ottenere "solo" 3 pezzi funzionanti su 5 è strano. In media, potresti aspettarti 4.5 pezzi funzionanti.
Se invece la probabilità di successo è 0.6, in media ti aspetti di avere proprio 3 pezzi funzionanti: il valore atteso di una variabile aleatoria binomiale di parametri (5,0.6) è np=5⋅0.6=3.

Esatto! Io al valore atteso di una binomiale poi non avevo pensato per niente, quindi mi sarebbe comunque mancata quest'ultima parte del ragionamento per arrivare alla conclusione del problema

"manfrf":$P(F) = P(A)*P(F|A) + P(B)*P(F|B) = 0.5*0.9 + 0.5*0.6 = 0.75$

Si, giusto, il denominatore l'avevo in effetti impostato a casaccio. Grazie

[frons79]

"Sergio":La verosimiglianza è una sorta di probabilità rovesciata: la verosimiglianza di un valore del parametro, dati i dati osservati, è la probabilità di osservare i dati se il parametro assume quel valore. In altri termini, la funzione di verosimiglianza ha la stessa forma di una funzione di densità (o massa) di probabilità. In questo caso, la forma è \(\binom{5}{x}\theta^x(1-\theta)^{5-x}\). Letta come funzione di densità la variabile indipendente è \(\theta\) (che è noto) e \(x\) è la variabile dipendente; letta come funzione di verosimiglianza \(x\) è la variabile indipendente e \(\theta\) quella dipendente.
Nel tuo caso, sai che \(x=3\) su 5 pezzi, quindi la funzione di verosimiglianza è \(\theta^3(1-\theta)^{5-3}\) (non si tiene conto del coefficiente binomiale \(\binom{5}{3}\) perché non cambia al variare di \(\theta\)) e il suo grafico è:

[asvg]height=300;xmin=0;xmax=1;ymin=0;ymax=0.035;
axes(0.2,1,"labels","grid");
plot("x^3*(1-x)^2");[/asvg]
Si vede che la verosimiglianza raggiunge il massimo per \(\theta=0.6\), quindi la stima di massima verosimiglianza di \(\theta\), cioè il valore più verosimile del parametro incognito, è \(\hat\theta_{MV}=0.6\).

In questo caso hai due possibili valori di \(\theta\), che sono \(0.9\) se i pezzi vengono da A, \(0.6\) se i pezzi vengono da B.
Usi quindi la verosimiglianza relativa dei due valori:
\[ \frac{L_A(\theta;x)}{L_B(\theta;x)}=\frac{(0.9)^3(1-0.9)^2}{(0.6)^3(1-0.6)^2}
=\frac{0.00729}{0.03456}\approx 0.21 \]
Essendo il risultato minore di 1, si conclude che \(0.9\) è meno verosimile di \(0.6\).

In effetti probabilmente sarebbe stato questo il metodo più ortodosso di arrivare alla soluzione, se non altro per la parola indizio "verosimiglianza" nel testo.

Però di solito quando il mio professore esige un certo metodo di risoluzione, lo scrive esplicitamente, e visto che qui non era specificato alcun metodo, ho scartato a priori il metodo della Massima Verosimiglianza per i calcoli più complessi (anche passando ai logaritmi)