Variabili aleatorie
Buonasera, avrei bisogno di una mano con questo esercizio:
Siano X e Y due variabili aleatorie caratterizzate dalla seguente pdf congiunta:
$f_(XY)(x,y)= \{(1/4 \ \ \forall (x,y)\in D),(0\ \ \ al\trimenti):}$ dove $D={(x,y)\in \RR: x^2+y^2<=4/pi}$
Detrminare se le due variabili aleatorie $Z=X+Y$ e $W=X-Y$ sono indipendenti, ortogonali, incorrelate.
Grazie dell'aiuto!!
Siano X e Y due variabili aleatorie caratterizzate dalla seguente pdf congiunta:
$f_(XY)(x,y)= \{(1/4 \ \ \forall (x,y)\in D),(0\ \ \ al\trimenti):}$ dove $D={(x,y)\in \RR: x^2+y^2<=4/pi}$
Detrminare se le due variabili aleatorie $Z=X+Y$ e $W=X-Y$ sono indipendenti, ortogonali, incorrelate.
Grazie dell'aiuto!!
Risposte
Hai qualche idea su come procedere?
Io considererei il vettore \((Z,W)\) che è ottenuto con una trasformazione lineare dal vettore \((X,Y)\):
\[\begin{pmatrix} Z \\ W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}\]
A questo punto puoi ragionare sia con le densità vedendo se si fattorizzano, sia con le funzioni caratteristiche. Ci sei?
EDIT: Forse in questo caso è meglio utilizzare le densità ricavandosi la densità congiunta di \((Z,W)\). Sai farlo?
Io considererei il vettore \((Z,W)\) che è ottenuto con una trasformazione lineare dal vettore \((X,Y)\):
\[\begin{pmatrix} Z \\ W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}\]
A questo punto puoi ragionare sia con le densità vedendo se si fattorizzano, sia con le funzioni caratteristiche. Ci sei?
EDIT: Forse in questo caso è meglio utilizzare le densità ricavandosi la densità congiunta di \((Z,W)\). Sai farlo?
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