Variabili Aleatorie
Salve a tutti,
vi scrivo perchè non riesco minimamente a comprendere la definizione di Variabile Aleatoria.
Mi spiego meglio: ho appreso che essa è una FUNZIONE di valori dipendenti da esperimenti il cui risultato non è certo.
Ma nella definizione che sto per proporvi non capisco quale possa mai essere il senso logico:
"Dato uno spazio di probabilità $(Omega, A, P)$ si dice variabile aleatoria un'applicazione $X: Omega -> RR$ tale che, per ogni $t in RR$ l'insieme ${omega; X(omega) <= t}$, appartenga ad $A$"
il testo offre poi la seguente esemplificazione: "una variabile aleatoria $X$ è dunque una funzione di $omega$ tale che abbia senso calcolare quanto vale la probabilità che $X$ prenda valori più piccoli di $t$.
Che diavolo significa?! perchè dovrebbero mai interessarmi i valori più piccoli di $t$? E che rappresenta l'insieme ${omega; X(omega) <= t}$ ?
Non capisco né perchè sia stata introdotta questa variabile aleatoria, né quale sia il suo senso..
Bah, siccome è uno dei concetti che stanno alla base del calcolo delle probabilità, vorrei chiarire tutto ciò. Sapreste aiutarmi?
vi scrivo perchè non riesco minimamente a comprendere la definizione di Variabile Aleatoria.
Mi spiego meglio: ho appreso che essa è una FUNZIONE di valori dipendenti da esperimenti il cui risultato non è certo.
Ma nella definizione che sto per proporvi non capisco quale possa mai essere il senso logico:
"Dato uno spazio di probabilità $(Omega, A, P)$ si dice variabile aleatoria un'applicazione $X: Omega -> RR$ tale che, per ogni $t in RR$ l'insieme ${omega; X(omega) <= t}$, appartenga ad $A$"
il testo offre poi la seguente esemplificazione: "una variabile aleatoria $X$ è dunque una funzione di $omega$ tale che abbia senso calcolare quanto vale la probabilità che $X$ prenda valori più piccoli di $t$.
Che diavolo significa?! perchè dovrebbero mai interessarmi i valori più piccoli di $t$? E che rappresenta l'insieme ${omega; X(omega) <= t}$ ?
Non capisco né perchè sia stata introdotta questa variabile aleatoria, né quale sia il suo senso..
Bah, siccome è uno dei concetti che stanno alla base del calcolo delle probabilità, vorrei chiarire tutto ciò. Sapreste aiutarmi?
Risposte
In generale si dice che l'anti-immagine di ogni boreliano deve essere un evento.
La sigma algebra di Borel è la più piccola sigma algebra che contiene gli aperti di R, e può essere generata dalle semirette sinistre.
quindi se tu verifichi che \(\displaystyle \{X(\omega)\leq x\}=\{ X^{-1}(-\infty, x)\} \) appartiene alla sigma algebra siccome lo hai dimostrato per i generatori questo risultato va bene per tutta la classe dei boreliani.
L'utilità di considerare le semirette la capirai anche quando studierai la funzione di distribuzione.
questo per quanto riguarda la comprensione della definizione
La sigma algebra di Borel è la più piccola sigma algebra che contiene gli aperti di R, e può essere generata dalle semirette sinistre.
quindi se tu verifichi che \(\displaystyle \{X(\omega)\leq x\}=\{ X^{-1}(-\infty, x)\} \) appartiene alla sigma algebra siccome lo hai dimostrato per i generatori questo risultato va bene per tutta la classe dei boreliani.
L'utilità di considerare le semirette la capirai anche quando studierai la funzione di distribuzione.
questo per quanto riguarda la comprensione della definizione
ah si, ora grazie alla sigma algebra è tutto più chiaro. Come ho fatto a non pensarci prima?
Altre soluzioni? magari senza sigma algebre?
Altre soluzioni? magari senza sigma algebre?
Credo che facciano bene molti autori a introdurre prima le variabili discrete e generalizzino successivamente. Prova a fare lo stesso, magari consultanto un altro testo.
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