Variabile non aleatoria
E qui non so proprio cosa dire... mi rimetto a una vostra clemente spiegazione
l'esercizio dice : Sia dia un esempio di probability space e di una real-valued function su $Omega= {0,1,2}$ che non sia una variabile aleatoria.
grazie...
l'esercizio dice : Sia dia un esempio di probability space e di una real-valued function su $Omega= {0,1,2}$ che non sia una variabile aleatoria.
grazie...
Risposte
beh devi trovare un'algebra $\mathcal{A}$ su $\{0,1,2\}$ e una funzione $X:\Omega\to \mathbb{R}$ tale che esiste $B$ boreliano per cui $X^{-1}(B)\notin \mathcal{A}$.
ti consiglio di provare a prendere un'algebra che esculda almeno unn punto e di costruire una v.a. che per forza di cose ha una controimmagine in quel punto...
ti consiglio di provare a prendere un'algebra che esculda almeno unn punto e di costruire una v.a. che per forza di cose ha una controimmagine in quel punto...
tipo avere $A$= {Insieme vuoto ,1,2,$Omega$} and $X=$Indicatore($omega$∈ $A$) così la controimmagine di $X=0$ non appartiene ad $A$ ?
grazie!
grazie!
L'insieme $A$ che hai definito non e' un'algebra, se prendi ad esempio ${1}uu{2}={1,2}!inA$
e se togliessi il 2 e avessi $A$-tonda= {insieme vuoto,1, $Omega$} ?.. o forse non perchè $Omega$ \ $1$ non appartiene ad $A$-tonda... o no? 
Prova ad aggiungere quel sottoinsieme che ti manca e poi segui quello che ti dice fu
allora provo a prendere $\mathcal{A} = {\emptyset, 1,2, {1,2}, Omega}$
non capisco però che valori deve prendere X. Cioè possi dire che $X= {3$ se $ omega=0$ e $0$ altrimenti ; così se prendo X=3 la controimmagine è 0 ma 0 non fa parte di $\mathcal{A}$
ma non credo che abbia senso...
non capisco però che valori deve prendere X. Cioè possi dire che $X= {3$ se $ omega=0$ e $0$ altrimenti ; così se prendo X=3 la controimmagine è 0 ma 0 non fa parte di $\mathcal{A}$
ma non credo che abbia senso...
perchè non dovrebbe avere senso?...
non lo so, forse perchè sto dando numeri a caso.. magari se al posto di 3 scrivessi $a$ dove $a$ costante ed elemento di $R$ magari suonerebbe meglio..
ma è corretto?
ma è corretto?
Si, in quanto tu hai detto che $X(\omega)=3 \cdot I_{\{0\}}(\omega)$, dunque $X^{-1}(3)=\{\omega\in\Omega: X(\omega)=3\}=\{0\}$ che non sta nella tua algebra. Dunque questa funzione non è misurabile secondo questa algebra.
grazie infinite!
Volevo solo dire che la sigma algebra descritta qualche post su non è una sigma algebra, però il ragionamento è giusto.
ah.. e come mai non è una sigma-algebra? la 3 proprietà vale (l'unione dei pezzi è dentro), $Omega$ e $\emptyset$ ci sono e la prima proprietà c'è; per la seconda proprietà non so effettivamente.. $A^c$ qual è ...
e se prendessi $\mathcal{A} = {\emptyset,0 , {1,2}, Omega}$ questa credo che sia una sigma corretta
e dicessi
$X= {a$ se $ omega=2$ e $0$ altrimenti ; così se prendo X=a la controimmagine è 2 ma ${2}$ non fa parte di $\mathcal{A}$
è corretto così? grazie
e dicessi
$X= {a$ se $ omega=2$ e $0$ altrimenti ; così se prendo X=a la controimmagine è 2 ma ${2}$ non fa parte di $\mathcal{A}$
è corretto così? grazie
se hai un insieme finito non potrai ottenere mai una sigma algebra 
La differenza tra algebra e sigma algebra sta nel fatto che la prima è chiusa per un numero finito di unioni, la seconda per un unione numerabile.
Questione di notazione... Oer il resto va tutto bene
La differenza tra algebra e sigma algebra sta nel fatto che la prima è chiusa per un numero finito di unioni, la seconda per un unione numerabile.
Questione di notazione... Oer il resto va tutto bene
ma allora tu dici che l'algebra che ho costruito non va bene, e nemmeno quindi la X ?
@Nico:
Ricorda che una sigma algebra è una algebra, il viceversa non è sempre vero.
La differenza te la ha detta fu se però ti inserisci in un contesto finito le due coincidono.
Comunque si quella di qualche post su non andava bene perchè non era un algebra e quindi neanche una sigma algebra.
Ora ci siamo.
Ricorda che una sigma algebra è una algebra, il viceversa non è sempre vero.
La differenza te la ha detta fu se però ti inserisci in un contesto finito le due coincidono.
Comunque si quella di qualche post su non andava bene perchè non era un algebra e quindi neanche una sigma algebra.
Ora ci siamo.
grazie mille! posso farvi l'ultima domanda molto stupida? ma anche se non ho usato una sigma-algebra ma solo l'algebra va bene lo stesso per la risoluzione dell'esercizio? e che cosa deve essere "insieme finito"? cioè se $Omega$- oppure chi- è insieme finito non avrò mai una sigma-algebra ?
grazie davvero ragazzi
grazie davvero ragazzi
Se hai un insieme finito di numerosità $n$ i suoi sottoinsiemi sono $2^n$, e costruisci una algebra (che è anche una sigma algebra) mettendo tutti questi insiemi in $mathcal(A)$ ed ottieni il power set.
Quindi se hai un insieme finito le due coincidono.
Ricorda che la condizione della sigma algebra è più forte, ovvero richiede qualcosa in più dell'algebra (ed è per questo che le sigma algebre sono un sotto insieme delle algebre). Infatti ti richiede che per ogni successione numerabile di eventi la loro unione sia nella sigma.
Ma se prendi una successione dove i primi n insiemi sono sottoinsiemi di $Omega$ e quelli dopo sono tutti uguali all'insieme vuoto riottieni la chiusura sull'unione finita e quindi con l'unione numerabile (sigma algebra) hai anche quella finita (algebra).
Quindi se hai un insieme finito le due coincidono.
Ricorda che la condizione della sigma algebra è più forte, ovvero richiede qualcosa in più dell'algebra (ed è per questo che le sigma algebre sono un sotto insieme delle algebre). Infatti ti richiede che per ogni successione numerabile di eventi la loro unione sia nella sigma.
Ma se prendi una successione dove i primi n insiemi sono sottoinsiemi di $Omega$ e quelli dopo sono tutti uguali all'insieme vuoto riottieni la chiusura sull'unione finita e quindi con l'unione numerabile (sigma algebra) hai anche quella finita (algebra).
grazie mille! finalmente ho capito qualcosa! qualche prof in più in aula come voi, e non esisterebbe più l'avversione alla matematica 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo