Variabile discreta e variabile continua...

[ulissess]

Siano X una v.a. discreta che assume valori -1 e +1 con P(X = -1) = P(X = +1) = 0.5 e Y una v.a. continua con densità $f_Y(y)=c*e^(-cy)$ dove c è una costante positiva. Calcolare:

a) Considerata la trasformazione Z = X*Y, supponendo che X ed Y siano indipendenti, ricavare la funzione di distribuzione $F_Z(z)$ e di densità $f_Z(z)$

svolg:

io avevo pensato di fare così

$f_X(x)=-x*1/2+x*1/2$

$f_(XY)(x,y)=(-x*1/2+x*1/2)*(ce^(-cy))$


ora uso il teorema fondamentale:

$z=xy$
$w=y$

lo jacobiano è $J(x,y)=y=w$

$f_(ZW)(z,w)=1/w*(-z/w*1/2+z/w*1/2)*(ce^(-cw))$

$f_Z(z)=\int_{-oo}^{+oo}1/w*(-z/w*1/2+z/w*1/2)*(ce^(-cw))dw$

che dite è giusto? è la prima volta che affronto questo tipo di problema

[fu^2]

non mi convince il fatto che hai associato a $X$ v.a. discreta una densità continua. (in particolare come hai scritto te $f_X(x)=0$ se ci fai caso...)

Al massimo puoi scrivere $f_X(x)=1/2 \delta_{\{-1\}}+1/2 delta_{\{1\}}$ se vuoi, e poi la logica del ragionamento va bene...

[ulissess]

questo $\delta{-1}$ e $\delta{1}$ che hai messo che cosa sono? sono gradini? quando devo integrarli come faccio?

[fu^2]

"ulissess":questo $\delta{-1}$ e $\delta{1}$ che hai messo che cosa sono? sono gradini? quando devo integrarli come faccio?

la distribuzione $\delta$ di Dirac.

In generale fissato un insieme $A$, $\delta_A(x_0)$ vale $1$ se $x_0\in A$ $0$ altrimenti.
In questo caso $A=\{1/2\}$.

Per giocare con le delte ti conviene evitare forse gli integrali (se non ne sei pratico), ma ricavare direttamente la funzione di distrbuzione osservando che puoi scrivere $P(XY<=t)=P(Y<=t/X|X=1)P(X=1)+P(Y<=t/X|X=-1)P(X=-1)

[ulissess]

ho provato a risolvere in questo modo...

$P(Z<=t)=P(XY<=t,X=1)+P(XY<=t,X=-1)=P(Y<=t,X=1)+P(-Y<=t,X=-1)=$

$=1/2*P(Y<=t)+1/2*P(-Y<=t)=1/2*F_Y(t)+1/2(1-F_Y(-t))=1/2*F_Y(t)+1/2(1+F_Y(t))=$

$=1/2*F_Y(t)+1/2+1/2*F_Y(t)=F_Y(t)+1/2=1-e^(-ct)+1/2=3/2-e^(-ct)$ per z>0

è giusto il mio ragionamento??

[fu^2]

"ulissess":ho provato a risolvere in questo modo...

$P(Z<=t)=P(XY<=t,X=1)+P(XY<=t,X=-1)=P(Y<=t,X=1)+P(-Y<=t,X=-1)=1/2*P(Y<=t)+1/2*P(-Y<=t)$

fino a qua è giusto

"ulissess":
$=1/2*F_Y(t)+1/2(1-F_Y(-t))=1/2*F_Y(t)+1/2(1+F_Y(t))=$

qua c'è un errore: $P(-Y<=t)$ NON è $F_Y(-t)$!!!!

$P(-Y<=t)=P(Y>=-t)=1-P(Y<=-t)+P(Y=-t)=1-F_Y(-t)+P(Y=-t)$

Ora, quanto vale $P(Y=-t)$?... (basta ragionarci un attimo e la risposta è semplice),
OSSERVAZIONE IMPORTANTE: per come hai scritto te la densità di $Y$, deduco che è definita solo per $t>=0$. Usa questo fatto per trarne le giuste conclusioni...


risolto questo poi il resto è corretto.

[ulissess]

$P(Y=-t)=0$ per ogni t giusto??

ed $F_Y(-t)=-F_Y(t)$ o è una cavolata??

[fu^2]

"ulissess":$P(Y=-t)=0$ per ogni t giusto??

ed $F_Y(-t)=-F_Y(t)$ o è una cavolata??

la prima si, ma dovresti motivarlo!

La seconda è una cavolata. Considera una cosa: se la tua densità ha senso solo per $t$ postivi, allora quelli negativi devi lasciarli perdere... concordi?
Non aver fretta di rispondere e pensaci bene

[ulissess]

si $F_Y(-t)!=-F_Y(t)$ infatti $1-e^(ct)!=1+e^(-ct)$ avevo scritto una cavolata heheh

$P(Y=-t)=0$ perchè è una funzione continua quindi $F_Y(y)-F_Y(y^-)=0$ per ogni y

quindi ricapitolando..

$P(Z<=t)=P(XY<=t,X=1)+P(XY<=t,X=-1)=P(Y<=t,X=1)+P(-Y<=t,X=-1)=$

$=1/2*P(Y<=t)+1/2*P(-Y<=t)=1/2*F_Y(t)+1/2(1-F_Y(-t)+P(Y=-t))=1/2*F_Y(t)+1/2(1-F_Y(-t))=$

$=1/2*F_Y(t)+1/2-1/2*F_Y(-t)$

quindi per $t<=0$

dal suggerimento che mi hai fatto capire..

$F_Y(t)=0$
$F_Y(-t)=1-e^(-ct)$

per $t>0$

$F_Y(t)=1-e^(-ct)$
$F_Y(-t)=0$

quindi la mia $F_Z(t)$ è:

$F_Z(t)={((1/2-1/2*(1-e^(-ct))),if t<=0),((1/2+1/2*(1-e^(-ct))),if t>0):}$

ora dovrebbe essere ok XD

[fu^2]

"ulissess":si $F_Y(-t)!=-F_Y(t)$ infatti $1-e^(ct)!=1+e^(-ct)$ avevo scritto una cavolata heheh

$P(Y=-t)=0$ perchè è una funzione continua quindi $F_Y(y)-F_Y(y^-)=0$ per ogni y

in verità $F_(t)$ (una generica funzione di distribuzione) può avere comunque dei salti...)

comuqnue nel tuo caso questo non avviene.

quindi ricapitolando..

$P(Z<=t)=P(XY<=t,X=1)+P(XY<=t,X=-1)=P(Y<=t,X=1)+P(-Y<=t,X=-1)=$

$=1/2*P(Y<=t)+1/2*P(-Y<=t)=1/2*F_Y(t)+1/2(1-F_Y(-t)+P(Y=-t))=1/2*F_Y(t)+1/2(1-F_Y(-t))=$

$=1/2*F_Y(t)+1/2-1/2*F_Y(-t)$

quindi per $t<=0$

dal suggerimento che mi hai fatto capire..

$F_Y(t)=0$
$F_Y(-t)=1-e^(-ct)$

per $t>0$

$F_Y(t)=1-e^(-ct)$
$F_Y(-t)=0$

quindi la mia $F_Z(t)$ è:

$F_Z(t)={((1/2-1/2*(1-e^(-ct))),if t<=0),((1/2+1/2*(1-e^(-ct))),if t>0):}$

c'è un errore, ti dico subito che per $t>0$ va bene, infatti $lim_{t\to +\infty}F_Z(t)=1$, mentre non va bene (hai sbagliato un segno all'esponenziale) per $t<0: lim_{t\to +\infty}F_Z(t)=-\infty

ora dovrebbe essere ok XD

[ulissess]

$F_Z(t)={(1/2-1/2*(1-e^(ct)),if t<=0),(1/2+1/2*(1-e^(-ct)),if t>0):}$

ora quel limite fa 0 per $t->-oo$ $(t<=0)$

perfetto !! grazie mille