Variabile casuale uniforme, pdf e correlazione
Ciao a tutti,
ho un esercizio che mi ha creato parecchi dubbi.
EX
Data X, VC uniforme su [-1,2].
- Calcolare E[X], E[|X|] e la pdf della VC |X|
- Calcolare la pdf della VC U=X+|X|
- Calcolare la correlazione tra U e la VC V=X-|X|. U e V sono ortogonali?
Una VC uniforme tra [-1 e 2] è una VC con pdf (densità di probabilità) costante in questo intervallo pari ad \(\displaystyle \frac{1}{3} \), dato che l'area sottesa alla pdf deve essere unitaria.
Per determinare il valore atteso so che:
\(\displaystyle E[X]=\frac{a+b}{2}=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2} \)
E ora il primo dubbio la VC |X| non ha la stessa pdf della VC X? La sua pdf è sempre positiva quindi non capisco cosa comporta il modulo...
Per gli altri dubbi in caso chiedo dopo aver risolto questo
grazie
ho un esercizio che mi ha creato parecchi dubbi.
EX
Data X, VC uniforme su [-1,2].
- Calcolare E[X], E[|X|] e la pdf della VC |X|
- Calcolare la pdf della VC U=X+|X|
- Calcolare la correlazione tra U e la VC V=X-|X|. U e V sono ortogonali?
Una VC uniforme tra [-1 e 2] è una VC con pdf (densità di probabilità) costante in questo intervallo pari ad \(\displaystyle \frac{1}{3} \), dato che l'area sottesa alla pdf deve essere unitaria.
Per determinare il valore atteso so che:
\(\displaystyle E[X]=\frac{a+b}{2}=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2} \)
E ora il primo dubbio la VC |X| non ha la stessa pdf della VC X? La sua pdf è sempre positiva quindi non capisco cosa comporta il modulo...
Per gli altri dubbi in caso chiedo dopo aver risolto questo
grazie
Risposte
Le due variabili hanno diverso dominio...come puoi pensare che abbiano la stessa distribuzione?
$ f (y)= 2/3$ se $0 <=y <1$
$ f(y)=1/3$ se $1 <=y <=2$
Dove $ y=|x|$
Se non riesci ti mostro i conti. ..ma penso tu riesca da solo
$ f (y)= 2/3$ se $0 <=y <1$
$ f(y)=1/3$ se $1 <=y <=2$
Dove $ y=|x|$
Se non riesci ti mostro i conti. ..ma penso tu riesca da solo
Non riesco a capire che hanno due domini diversi. Dato che y=|x| e x è non nulla tra -1 e 2 limito la funzione modulo tra -1 e 2 ma come mai invece y secondo i risultati che hai postato va da 0 a 2?
Se mi posteresti anche i conti te ne sarei grato. Sto cercando di studiare da solo questo argomento ma non mi tornano molte cose
Se mi posteresti anche i conti te ne sarei grato. Sto cercando di studiare da solo questo argomento ma non mi tornano molte cose
iniziamo a definire (come hai già fatto correttamente) la densità di $X$
$f(x)=1/3$ ; $-1<=x<=2$
e quindi anche la CDF: $F_(X)(x)=int_(-1)^(x)1/3dt=(x+1)/3$
prendiamo ora la funzione di trasformazione $Y=|X|$
come si vede dal grafico il dominio della nuova variabile $y$ coincide con l'immagine della variabile $x$ e quindi ho già risposto al primo quesito: i dominî delle due variabili sono diversi.
Notiamo che, per $1
per definizione di CDF abbiamo che
$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(-y<=X<=y)=F_(X)(y)-F_(X)(-y)=(y+1)/3-(1-y)/3=2/3y$
da cui derivando otteniamo $f_(Y)(y)=2/3$
in definitiva:
$f_(Y)(y)={{: ( 2/3 , ;0<=y<1 ),( 1/3 , ;1<=y<=2 ),( 0 , ; al t r ov e ) :}$
graficamente:
Esistono anche altri metodi per trasformare una variabile aleatoria ma questo (in questo caso) è sicuramente il metodo più snello ed intuitivo (scusa per le proporzioni nei grafici ma li ho fatti velocemente con paint)
spero sia chiaro...
capito questo "dovresti" riuscire a calcolare da solo la pdf ( o CDF, quello che preferisci) dell'altra trasformazione richiesta dall'esercizio. Non è un esercizio difficile ma nemmeno "entry level", dato che l'altra trasformazione che richiede l'esercizio è di tipo "misto", ovvero ha un punto di discontinuità dove concentra una certa massa di probabilità.
In questa stanza puoi trovare decine e decine di esercizi che ho risolto sulle trasformazioni di variabili...dai un'occhiata ai numerosi topic in modo da chiarirti un po' le idee.....
per esempio qui:
viewtopic.php?f=34&t=155320&hilit#p968923
Qui invece trovi un testo davvero ben fatto.....completo e non eccessivamente formale (lo capisco pure io che non faccio l'insegnante di mestiere
):
http://unina.stidue.net/Complementi%20d ... parte2.pdf
$f(x)=1/3$ ; $-1<=x<=2$
e quindi anche la CDF: $F_(X)(x)=int_(-1)^(x)1/3dt=(x+1)/3$
prendiamo ora la funzione di trasformazione $Y=|X|$
come si vede dal grafico il dominio della nuova variabile $y$ coincide con l'immagine della variabile $x$ e quindi ho già risposto al primo quesito: i dominî delle due variabili sono diversi.
Notiamo che, per $1
per definizione di CDF abbiamo che
$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(-y<=X<=y)=F_(X)(y)-F_(X)(-y)=(y+1)/3-(1-y)/3=2/3y$
da cui derivando otteniamo $f_(Y)(y)=2/3$
in definitiva:
$f_(Y)(y)={{: ( 2/3 , ;0<=y<1 ),( 1/3 , ;1<=y<=2 ),( 0 , ; al t r ov e ) :}$
graficamente:
Esistono anche altri metodi per trasformare una variabile aleatoria ma questo (in questo caso) è sicuramente il metodo più snello ed intuitivo (scusa per le proporzioni nei grafici ma li ho fatti velocemente con paint)
spero sia chiaro...
capito questo "dovresti" riuscire a calcolare da solo la pdf ( o CDF, quello che preferisci) dell'altra trasformazione richiesta dall'esercizio. Non è un esercizio difficile ma nemmeno "entry level", dato che l'altra trasformazione che richiede l'esercizio è di tipo "misto", ovvero ha un punto di discontinuità dove concentra una certa massa di probabilità.
In questa stanza puoi trovare decine e decine di esercizi che ho risolto sulle trasformazioni di variabili...dai un'occhiata ai numerosi topic in modo da chiarirti un po' le idee.....
per esempio qui:
viewtopic.php?f=34&t=155320&hilit#p968923
Qui invece trovi un testo davvero ben fatto.....completo e non eccessivamente formale (lo capisco pure io che non faccio l'insegnante di mestiere
):http://unina.stidue.net/Complementi%20d ... parte2.pdf
La ringrazio moltissimo. Il procedimento che mi ha spiegato l'ho capito benissimo ma non riesco ad andare avanti infatti le volevo chiedere dove potevo trovare del materiale e senza neanche farlo apposta ci ha già pensato lei a modificare la sua risposta
"Netfrog":
La ringrazio moltissimo. Il procedimento che mi ha spiegato l'ho capito benissimo ma non riesco ad andare avanti infatti le volevo chiedere dove potevo trovare del materiale e senza neanche farlo apposta ci ha già pensato lei a modificare la sua risposta
sì basta che non mi dai del lei......
per l'altra trasformazione fai la stessa cosa basta che noti che, per $y=0$ la variabile concentra la seguente massa di probabilità
$int_(-1)^(0)1/3dt=1/3$
sono un po' impegnato ed ho fatto i conti a mente....ma la CDF dovrebbe venire così:
e come si vede è di tipo misto, dato che non parte da zero
Scusa! Comunque intanto ti scrivo quello che sto pensando ma probabilmente ho troppa confusione in testa.
Io so che se due VC sono indipendenti allora la funzione di densità di probabilità della somma di queste due VC è data dalla convoluzione delle due densità di probabilità di X e Y ma in questo caso una è X l'altra è |X| quindi non penso proprio che siano indipendenti quindi devo determinare la funzione di densità congiunta?
Io so che se due VC sono indipendenti allora la funzione di densità di probabilità della somma di queste due VC è data dalla convoluzione delle due densità di probabilità di X e Y ma in questo caso una è X l'altra è |X| quindi non penso proprio che siano indipendenti quindi devo determinare la funzione di densità congiunta?
"Netfrog":
Scusa! Comunque intanto ti scrivo quello che sto pensando ma probabilmente ho troppa confusione in testa.
Io so che se due VC sono indipendenti allora la funzione di densità di probabilità della somma di queste due VC è data dalla convoluzione delle due densità di probabilità di X e Y ma in questo caso una è X l'altra è |X| quindi non penso proprio che siano indipendenti quindi devo determinare la funzione di densità congiunta?
la densità congiunta penso non serva....immagino tu lo chieda per il calcolo della correlazione...a prima vista mi pare che il prodotto sia sempre zero....però devo controllare....oggi sono un po' preso e non riesco a fare i conti con calma.....
per la densità congiunta se le variabili sono indipendenti basta moltiplicare le densità...se invece NON sono indipendenti o te la fornisce il testo o ti dà indicazioni circa la dipendenza....altrimenti non si può calcolare
Per determinare U so che \(\displaystyle U=X+|X| \) attraverso la funzione di ripartizione ho:
\(\displaystyle F_{X+|X|}(u)=P(X+|X|\leq u)=P(X+X\leq u)+ P(0 \leqslant u) \)
per questo dici che y=0 ?
\(\displaystyle F_{X+|X|}(u)=P(X+|X|\leq u)=P(X+X\leq u)+ P(0 \leqslant u) \)
per questo dici che y=0 ?
Nono sono ancora fermo al secondo punto dell'esercizio. Non ho fretta. Voglio capirlo bene quindi quando hai tempo
vediamo velocemente il secondo:
Questa è la funzione di trasformazione:
come vedi, quando $x in [-1;0]$ la $y=0$ ma la $x$ concentra una certa massa di probabilità in quell'intervallo, e precisamente
$int_(-1)^(0)1/3dt=1/3$
per il resto ti comporti come nel caso precedente, ovvero:
$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(X<=y/2)=F_(X)(y/2)=((y/2)+1)/3=(y+2)/6$
quindi la densità / probabilità sarà:
$f_(Y)(y)-= {{: (1/3 , ;y=0 ),( 1/6 , ;0
che appunto è di tipo misto:
per quanto riguarda l'ultimo punto è piuttosto banale ma trovi tutto il materiale che ti serve nel testo che ti ho indicato al capitolo 7. Per quanto riguarda le trasformazioni unidimensionali (ovvero queste) sono trattate nella dispensa precedente (parte 1) ovvero qui al capitolo 4:
http://unina.stidue.net/Complementi%20d ... parte1.pdf
Questa è la funzione di trasformazione:
come vedi, quando $x in [-1;0]$ la $y=0$ ma la $x$ concentra una certa massa di probabilità in quell'intervallo, e precisamente
$int_(-1)^(0)1/3dt=1/3$
per il resto ti comporti come nel caso precedente, ovvero:
$F_(Y)(y)=P(Y<=y)=P(X<=y/2)=F_(X)(y/2)=((y/2)+1)/3=(y+2)/6$
quindi la densità / probabilità sarà:
$f_(Y)(y)-= {{: (1/3 , ;y=0 ),( 1/6 , ;0
che appunto è di tipo misto:
per quanto riguarda l'ultimo punto è piuttosto banale ma trovi tutto il materiale che ti serve nel testo che ti ho indicato al capitolo 7. Per quanto riguarda le trasformazioni unidimensionali (ovvero queste) sono trattate nella dispensa precedente (parte 1) ovvero qui al capitolo 4:
http://unina.stidue.net/Complementi%20d ... parte1.pdf
Ok, determino ora la VC \(\displaystyle V= X-|X| \)
Graficandola ho che per x<0 ho la semiretta nel terzo quadrante y=-2x e in \(\displaystyle x\in [0,2] \) y=0 che concentra una massa di probabilità:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} 1/3 dx = 2/3 \)
per x<0
\(\displaystyle F_y(y)=P(Y<=y)=P(-2X<=y)=P(X>=\frac{-y}{2} )=1-F_X(\frac{-y}{2})=1-\frac{2-y}{6} = \frac{y+4}{6} \)
quindi ho una densità di probabilità:
\(\displaystyle f_Y(y)=\left\{\begin{matrix}
& 2/3;y=0\\
& 1/6; -2
\end{matrix}\right. \)
Ora per determinare la correlazione tra X+|X| e X-|X| ho la formula
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}uvf_{UV}(u,v)dudv \)
che richiede la conoscenza della densità congiunta, cosa che nemmeno provo a fare perchè di solito viene data nel testo di un esercizio e non va ricavata...
Dopo di che se la correlazione risultasse nulla allora significherebbe che U e V sono ortogonali. Cosi a intuito potrebbero esserlo dato che guardando le loro pdf sono dei rettangoli con supporto disgiunto ma non ne sono cosi sicuro
Spero risolverai anche questi miei dubbi.
Buona giornata
penso di aver corretto tutto
Graficandola ho che per x<0 ho la semiretta nel terzo quadrante y=-2x e in \(\displaystyle x\in [0,2] \) y=0 che concentra una massa di probabilità:
\(\displaystyle \int_{0}^{2} 1/3 dx = 2/3 \)
per x<0
\(\displaystyle F_y(y)=P(Y<=y)=P(-2X<=y)=P(X>=\frac{-y}{2} )=1-F_X(\frac{-y}{2})=1-\frac{2-y}{6} = \frac{y+4}{6} \)
quindi ho una densità di probabilità:
\(\displaystyle f_Y(y)=\left\{\begin{matrix}
& 2/3;y=0\\
& 1/6; -2
\end{matrix}\right. \)
Ora per determinare la correlazione tra X+|X| e X-|X| ho la formula
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}uvf_{UV}(u,v)dudv \)
che richiede la conoscenza della densità congiunta, cosa che nemmeno provo a fare perchè di solito viene data nel testo di un esercizio e non va ricavata...
Dopo di che se la correlazione risultasse nulla allora significherebbe che U e V sono ortogonali. Cosi a intuito potrebbero esserlo dato che guardando le loro pdf sono dei rettangoli con supporto disgiunto ma non ne sono cosi sicuro
Spero risolverai anche questi miei dubbi.
Buona giornata
penso di aver corretto tutto
Il metodo è giusto ma ci sono vari errori.
1) immagino tu stia calcolando $ y=x-|x|$....hai scritto un'altra cosa..
2) quando $ x <0$ la retta viene $2x $ quindi il dominio di $ y $ è $[-2; 0] $ e la densità sarà $1/6I_([-2; 0))(y)$
3) per il calcolo della corr nota che $ uv=0$ sempre.
4) la CDF ancora non va bene.,
$F_(Y)(y)=P(2x
$f(y)=1/6$...la densità che hai trovato è giusta...ovvimente deve essere $2<=y<0$, incluso 2, non escluso
per quanto riguarda la congiunta non servirebbe comunque, dato che $U,V$ sono funzione di x
e quindi
$E(UV)=int_(-oo)^(+oo)g_(1)(x)g_(2)(x)f(x)dx$
1) immagino tu stia calcolando $ y=x-|x|$....hai scritto un'altra cosa..
2) quando $ x <0$ la retta viene $2x $ quindi il dominio di $ y $ è $[-2; 0] $ e la densità sarà $1/6I_([-2; 0))(y)$
3) per il calcolo della corr nota che $ uv=0$ sempre.
4) la CDF ancora non va bene.,
$F_(Y)(y)=P(2x
$f(y)=1/6$...la densità che hai trovato è giusta...ovvimente deve essere $2<=y<0$, incluso 2, non escluso
per quanto riguarda la congiunta non servirebbe comunque, dato che $U,V$ sono funzione di x
e quindi
$E(UV)=int_(-oo)^(+oo)g_(1)(x)g_(2)(x)f(x)dx$
Non ci avevo fatto caso! Pensavo già a scervellarmi per trovare un modo di determinare la congiunta invece ho che, come giustamente mi hai fatto notare:
\(\displaystyle (x+|x|)(x-|x|)=x^2-x|x|+x|x|-x^2=0 \)
quindi concludo che U e V sono ortogonali
Grazie mille
\(\displaystyle (x+|x|)(x-|x|)=x^2-x|x|+x|x|-x^2=0 \)
quindi concludo che U e V sono ortogonali
Grazie mille
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