Variabile aleatoria somma di Gaussiana e Bernoulliana
Ciao ragazzi, ho un problema con un quesito.
In pratica ho una variabile aleatoria $ Z=X+Y $ dove X è una Gaussiana e Y una Bernoulliana.
Il quesito è generico, non vengono dati valori ma viene chiesto solo come si procederebbe per caratterizzare Z.
In generale il mio problema è che ho sempre visto e fatto solo esercizi dove avevo una variabile somma di 2 gaussiane, mentre se le variabili sono diverse non so come procedere...
In pratica ho una variabile aleatoria $ Z=X+Y $ dove X è una Gaussiana e Y una Bernoulliana.
Il quesito è generico, non vengono dati valori ma viene chiesto solo come si procederebbe per caratterizzare Z.
In generale il mio problema è che ho sempre visto e fatto solo esercizi dove avevo una variabile somma di 2 gaussiane, mentre se le variabili sono diverse non so come procedere...
Risposte
"MarkS3":
Ciao ragazzi, ho un problema con un quesito.
In pratica ho una variabile aleatoria $ Z=X+Y $ dove X è una Gaussiana e Y una Bernoulliana.
Il quesito è generico, non vengono dati valori ma viene chiesto solo come si procederebbe per caratterizzare Z.
In generale il mio problema è che ho sempre visto e fatto solo esercizi dove avevo una variabile somma di 2 gaussiane, mentre se le variabili sono diverse non so come procedere...
Se scrivi un programma per simulare questa cosa, cosa succede?
"ghira":
[quote="MarkS3"]Ciao ragazzi, ho un problema con un quesito.
In pratica ho una variabile aleatoria $ Z=X+Y $ dove X è una Gaussiana e Y una Bernoulliana.
Il quesito è generico, non vengono dati valori ma viene chiesto solo come si procederebbe per caratterizzare Z.
In generale il mio problema è che ho sempre visto e fatto solo esercizi dove avevo una variabile somma di 2 gaussiane, mentre se le variabili sono diverse non so come procedere...
Se scrivi un programma per simulare questa cosa, cosa succede?[/quote]
Cosa intendi?
Assunta l'indipendenza fra $X$ e $Y$, basta usare il teorema della probabilità totale. Il risultato è una mistura delle due gaussiane.
ovviamente $p$ è il parametro della bernulli mentre $f$ è la densità della gaussiana
fine del problema.
Senza assunzione di indipendenza il quesito non è risolvibile.
Per questa volta ti ho risolto io il problema (ho solo saltato un paio di passaggi) ma ricordo che la bozza di soluzione è obbligatoria in questa community. La prossima volta chiudo la discussione senza ulteriori passaggi.
$f_Z(z)=pxxf_X(z-1)+(1-p)xxf_X(z)$
ovviamente $p$ è il parametro della bernulli mentre $f$ è la densità della gaussiana
fine del problema.
Senza assunzione di indipendenza il quesito non è risolvibile.
Per questa volta ti ho risolto io il problema (ho solo saltato un paio di passaggi) ma ricordo che la bozza di soluzione è obbligatoria in questa community. La prossima volta chiudo la discussione senza ulteriori passaggi.
"MarkS3":
Cosa intendi?
Se non hai altre idee, puoi scrivere un programma per generare dei valori con una distribuzione di questo tipo e vedere cosa esce fuori.
"tommik":
Assunta l'indipendenza fra $X$ e $Y$, basta usare il teorema della probabilità totale. Il risultato è una mistura delle due gaussiane.
$f_Z(z)=pxxf_X(z-1)+(1-p)xxf_X(z)$
ovviamente $p$ è il parametro della bernulli mentre $f$ è la densità della gaussiana
fine del problema.
Senza assunzione di indipendenza il quesito non è risolvibile.
Per questa volta ti ho risolto io il problema (ho solo saltato un paio di passaggi) ma ricordo che la bozza di soluzione è obbligatoria in questa community. La prossima volta chiudo la discussione senza ulteriori passaggi.
Ciao, grazie per la risposta e scusami per la mancata bozza...
Quindi la variabile Z che viene dalla somma delle 2, che tipo di variabile sarà?
E poi volevo chiederti anche perché nella somma la pdf è con (z-1) al primo termine e z al secondo?
"MarkS3":
1) Quindi la variabile Z che viene dalla somma delle 2, che tipo di variabile sarà?
2) E poi volevo chiederti anche perché nella somma la pdf è con (z-1) al primo termine e z al secondo?
1) te l'ho spiegato sia a parole che in modo analitico scrivendoti, in termini generali, la sua densità. E' una mixture, cioè una combinazione lineare, di due densità gaussiane...mi sembra una risposta più che esaustiva.
Ad esempio, se la bernulli è di parametro 0.5 e la gaussiana è standard avrai
$f_Z(z)=1/(2sqrt(2pi))[e^(-z^2/2)+e^(-(z-1)^2/2)]$
2) fai i conti usando il teorema della probabilità totale...mi pare di averti già scritto anche questo
@MarkS3
Tommik è stato chiarissimo.
Una riflessione, meno formale ma più intellettuale (comunque a suo modo profonda), riguarda il Teorema Limite Centrale.
Se pensi a quella gaussiana come al limite di una Binomiale e alla Bernoulli come ad un limite finito, puoi portare dentro quest'ultimo nel primo. Dato che la binomiale è una somma di bernoulli, sommandocene un'altra abbiamo ancora una binomiale e applicando il limite torniamo ad una gaussiana.
Ho scritto "profonda" perchè fa riflettere sulla bellezza del teorema in se.
Tommik è stato chiarissimo.
Una riflessione, meno formale ma più intellettuale (comunque a suo modo profonda), riguarda il Teorema Limite Centrale.
Se pensi a quella gaussiana come al limite di una Binomiale e alla Bernoulli come ad un limite finito, puoi portare dentro quest'ultimo nel primo. Dato che la binomiale è una somma di bernoulli, sommandocene un'altra abbiamo ancora una binomiale e applicando il limite torniamo ad una gaussiana.
Ho scritto "profonda" perchè fa riflettere sulla bellezza del teorema in se.
Grazie mille ad entrambi per le risposte e gli ulteriori chiarimenti 
Vorrei inoltre farti notare la differenza sostanziale che c'è fra il caratterizzare la seguente variabile aleatoria
dove si può procedere con una convoluzione (o altri metodi standard) ed il caso in esame dove, ad esempio, usando i parametri del mio precedente post, otteniamo
Nel primo caso siamo di fronte ad una trasformazione di variabile aleatoria, nel secondo invece siamo di fronte ad una media delle densità...sono due concetti estremamente diversi che bisogna necessariamente assimilare.
Vediamo un semplice ma esplicativo esempio:
Abbiamo due contenitori di capacità aleatoria espressa in litri e distribuita in modo uniforme ed indipendente nel seguente modo
$X~ U(0;1)$
$Y~ U(0;2)$
Facciamo due distinti esperimenti:
1) leggiamo le due capacità random e ne facciamo la media
2) lanciamo una moneta e decidiamo quale contenitore leggere.
Definiamo la variabile $Z$ che rappresenta la capacità aleatoria risultante. Nel primo caso siamo di fronte ad una trasformazione di variabile; notiamo anche che il supporto di $Z$ è $z in [0;1.5]$ litri
nel secondo caso, siamo di fronte ad una mistura di densità...e tanto per verificare che non è come il caso 1) osserviamo che $z in [0;2]$
Può esser un buon esercizio, calcolare la distribuzione di Z in entrambi i casi, non è difficile ma aiuta sicuramente a ragionare. L'esempio è bellissimo ed infatti l'ho inventato io tempo fa
(mi pare di aver già anche postato la soluzione)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Altro esempio (classico, preso dal libro)
Abbiamo messo sul mercato una quantità (molto elevata) di lampadine indistinguibili ma ci siamo accorti che metà di esse hanno una durata aleatoria[nota]con $exp(theta)$ indico una densità esponenziale negativa di media $1/theta$[/nota] $X~exp(theta)$ mentra l'altra metà $Y~exp(lambda)$. Selezioniamo una lampadina comprata casualmente e vogliamo caratterizzare la densità della sua durata aleatoria.
Come facciamo? Dobbiamo calcolare la densità della variabile aleatoria $Z=(X+Y)/2$ oppure semplicemente abbiamo già la risposta nel cassetto essendo
??
$Z=(X+Y)/2$
dove si può procedere con una convoluzione (o altri metodi standard) ed il caso in esame dove, ad esempio, usando i parametri del mio precedente post, otteniamo
$f_Z(z)=(f_X(z)+f_Y(z-1))/2$
Nel primo caso siamo di fronte ad una trasformazione di variabile aleatoria, nel secondo invece siamo di fronte ad una media delle densità...sono due concetti estremamente diversi che bisogna necessariamente assimilare.
Vediamo un semplice ma esplicativo esempio:
Abbiamo due contenitori di capacità aleatoria espressa in litri e distribuita in modo uniforme ed indipendente nel seguente modo
$X~ U(0;1)$
$Y~ U(0;2)$
Facciamo due distinti esperimenti:
1) leggiamo le due capacità random e ne facciamo la media
2) lanciamo una moneta e decidiamo quale contenitore leggere.
Definiamo la variabile $Z$ che rappresenta la capacità aleatoria risultante. Nel primo caso siamo di fronte ad una trasformazione di variabile; notiamo anche che il supporto di $Z$ è $z in [0;1.5]$ litri
nel secondo caso, siamo di fronte ad una mistura di densità...e tanto per verificare che non è come il caso 1) osserviamo che $z in [0;2]$
Può esser un buon esercizio, calcolare la distribuzione di Z in entrambi i casi, non è difficile ma aiuta sicuramente a ragionare. L'esempio è bellissimo ed infatti l'ho inventato io tempo fa
(mi pare di aver già anche postato la soluzione)^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Altro esempio (classico, preso dal libro)
Abbiamo messo sul mercato una quantità (molto elevata) di lampadine indistinguibili ma ci siamo accorti che metà di esse hanno una durata aleatoria[nota]con $exp(theta)$ indico una densità esponenziale negativa di media $1/theta$[/nota] $X~exp(theta)$ mentra l'altra metà $Y~exp(lambda)$. Selezioniamo una lampadina comprata casualmente e vogliamo caratterizzare la densità della sua durata aleatoria.
Come facciamo? Dobbiamo calcolare la densità della variabile aleatoria $Z=(X+Y)/2$ oppure semplicemente abbiamo già la risposta nel cassetto essendo
$f_Z(z)=(theta e^(-theta z)+lambda e^(-lambda z))/2$
??
Grazie mille per questi esempi! Sono molto chiari 
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