Variabile Aleatoria Ipergeometrica??
Ciao a tutti.
Mi trovo di fronte ad un esercizio per me piuttosto complesso... Temo di non riuscire a trovare la giusta logica per risolverlo. Ecco di seguito il testo:
In un'urna ci sono $N$ palline di cui $R$ bianche ed $S=N-R$ nere. Si estrae a cao senza reimbussolamento (in blocco) un campione di $l
Se l'esercizio si fermasse alla prima parte $X$ sarebbe una variabile ipergeometrica, e sarebbe semplice trovare la formula per calcolare la probabilità di avere $x$ palline bianche. Non so proprio come procedere per affrontare il fatto che si estrae un sottocampione. Qualcuno può darmi qualche indicazione?
Forse $X$ è comunque una variabile Ipergeometrica? La popolazione sarà di $N-l$ palline, ma quante bianche?
Grazie
Mi trovo di fronte ad un esercizio per me piuttosto complesso... Temo di non riuscire a trovare la giusta logica per risolverlo. Ecco di seguito il testo:
In un'urna ci sono $N$ palline di cui $R$ bianche ed $S=N-R$ nere. Si estrae a cao senza reimbussolamento (in blocco) un campione di $l
Se l'esercizio si fermasse alla prima parte $X$ sarebbe una variabile ipergeometrica, e sarebbe semplice trovare la formula per calcolare la probabilità di avere $x$ palline bianche. Non so proprio come procedere per affrontare il fatto che si estrae un sottocampione. Qualcuno può darmi qualche indicazione?
Forse $X$ è comunque una variabile Ipergeometrica? La popolazione sarà di $N-l$ palline, ma quante bianche?
Grazie
Risposte
se chiamo $k$ il numero di palline bianche estratte in occasione della prima estrazione di $l$ palline, possiamo scrivere:
$P(X=x)=\sum_(k=0)^R\[(((R), (k))*((N-R), (l-k)))/(((N), (l)))]*[(((k), (x))*((l-k), (n-x)))/(((l), (n)))]$
applico la formula nel caso particolare:
$sum_(k=0)^2\[(((2), (k))*((2), (3-k)))/(((4), (3)))]*[(((k), (1))*((3-k), (3)))/(((3), (2)))]=1/(4*3)*(1*0+2*1*1*2+1*2*2*1)=8/12=2/3$
se ci fosse un'unica estrazione di n palline, sarebbe:
$P(X=x)=\sum_(k=0)^R\[(((R), (k))*((N-R), (n-k)))/(((N), (n)))]*[(((k), (x))*((n-k), (n-x)))/(((n), (n)))]$
il fattore $(((k), (x))*((n-k), (n-x)))=[(k!)/(x!(k-x)!)]*[((n-k)!)/((n-x)!(x-k)!)]!=0 " solo se " k=x$.
dunque si ottiene la formula più semplice:
$P(X=x)=(((R), (x))*((N-R), (n-x)))/(((N), (n)))=(((2), (1))*((2), (1)))/(((4), (2)))=8/12=2/3$
il risultato coincide con il precedente.
spero di essere stata chiara. ciao.
$P(X=x)=\sum_(k=0)^R\[(((R), (k))*((N-R), (l-k)))/(((N), (l)))]*[(((k), (x))*((l-k), (n-x)))/(((l), (n)))]$
applico la formula nel caso particolare:
$sum_(k=0)^2\[(((2), (k))*((2), (3-k)))/(((4), (3)))]*[(((k), (1))*((3-k), (3)))/(((3), (2)))]=1/(4*3)*(1*0+2*1*1*2+1*2*2*1)=8/12=2/3$
se ci fosse un'unica estrazione di n palline, sarebbe:
$P(X=x)=\sum_(k=0)^R\[(((R), (k))*((N-R), (n-k)))/(((N), (n)))]*[(((k), (x))*((n-k), (n-x)))/(((n), (n)))]$
il fattore $(((k), (x))*((n-k), (n-x)))=[(k!)/(x!(k-x)!)]*[((n-k)!)/((n-x)!(x-k)!)]!=0 " solo se " k=x$.
dunque si ottiene la formula più semplice:
$P(X=x)=(((R), (x))*((N-R), (n-x)))/(((N), (n)))=(((2), (1))*((2), (1)))/(((4), (2)))=8/12=2/3$
il risultato coincide con il precedente.
spero di essere stata chiara. ciao.
Piccola osservazione.....la sommatoria che hai scritto va da "x" a "l".
quale?
Nella prima sommatoria:
$sum_(k=x)^l....$
$sum_(k=x)^l....$
forse funziona anche come dici tu, però non è sbagliato come ho scritto io: k è compreso tra 0 ed l, ed è sicuramente non maggiore di R...
come l'ho scritto io l'ho reso indipendente dai valori intermedi... le parti che non interessano sono nulle....
piuttosto dovresti riflettere sui possibili casi di l maggiore, uguale o minore di R. ciao.
come l'ho scritto io l'ho reso indipendente dai valori intermedi... le parti che non interessano sono nulle....
piuttosto dovresti riflettere sui possibili casi di l maggiore, uguale o minore di R. ciao.
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