Variabile aleatoria geometrica

[poncelet]

Uno studente supera un esame con uguale probabilità dopo un numero di tentativi minore o uguale a due oppure maggiore o uguale a due. Supponendo che la probabilità di passare l'esame ad ogni tentativo sia costante, determinare:
a) la probabilità che lo studente superi l'esame al secondo tentativo
b) la probabilità che lo studente tenti l'esame almeno 3 volte
c) la probabilità che lo studente tenti l'esame almeno 3 volte sapendo che al primo appello è stato bocciato

Io chiamerei $ X $ la v.a. che conta i tentativi di passare l'esame ed imporrei: $ P(X \geq 2) = P(X \leq 2) $
Si tratta di una v.a. geometrica con distribuzione: $ P(X=k)=p*(1-p)^{k-1} $

Calcolo allora:

$ P(X=1)=p $
$ P(X=2)=p*(1-p) $

Quindi:

$ P(X \geq 2)=1-P(X<2)=1-p $
e

$ P(X \leq 2)=P(X=1)+P(X=2)=p+p*(1-p)=2p-p^{2} $

Impongo allora:

$ P(X \geq 2)=P(X \leq 2) $ ovvero: $ 1-p=2p-p^{2} $

e ottengo:

$ p=0.382 $ che rappresenta la probabilità (costante) di passare l'esame ad ogni tentativo.

A questo punto rispondo ai tre quesiti:

a) $ P(X=2)=p-p^{2}=0.236 $

b) $P(X \geq 3)=1-P(X \leq 2)= 1-P(X=1)-P(X=2)=1-0.382-0.236=0.382 $

c) $ P(X \geq 3 | X>1)= \frac {P(11)}=\frac {P(X \geq 3)}{P(X>1)}=\frac{0.382}{1-P(X=1)}=\frac {0.382}{1-p}=\frac {0.382}{0.619}=0.618 $

Il procedimento è giusto?
Grazie.

[dissonance]

Tutto giusto, IMHO.

[poncelet]

"dissonance":Tutto giusto, IMHO.

Grazie.
P.S. cosa vuol dire IMHO?

[dissonance]

In My Humble Opinion.