Variabile Aleatoria (funzione di gaussiana)
Buongiorno a tutti,gentilmente vi chiederei un aiuto su questo esercizio.
"Una variabile aleatoria $Y$ è distribuita normalmente con media pari a 3 e varianza pari a 100.Calcolare la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria $Z=1+Y^2$.
Esiste per caso qualche formula?non capisco cosa si debba usare.
"Una variabile aleatoria $Y$ è distribuita normalmente con media pari a 3 e varianza pari a 100.Calcolare la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria $Z=1+Y^2$.
Esiste per caso qualche formula?non capisco cosa si debba usare.
Risposte
"arnett":
Ciao, puoi impostare lo svolgimento usando la funzione di ripartizione:
$F_Z(z)=\mathbb{P}(Z\lez)=\mathbb{P}(1+Y^2\lez)...$
(ci sono anche altri modi)
ti ringrazio,ma quindi se $Y=N(y,\mu,\sigma^2) $,allora $ Y^2=N^2(y^2,\mu^2,\sigma^2)$ e calcolo l'integrale con gli estremi tra $ -\infty $ e $ z-1$ ??
oppure basta ricavare la $Y$ (sono valori interni) e fare l'integrale con estremi di integrazione tra $ -sqrt(z-1) $ e $ sqrt(z-1) $ ?
anche se poi con i calcoli,la $z$ rimarrebbe un incognita e non potrei calcolare i valori con la tavola..non capisco come si prosegua
le indicazioni che ti ha dato @arnett sono più che sufficienti per proseguire...
Commento personale:
[ot]invece di fare tante domande potresti cominciare ad impostare tu una bozza di soluzione, almeno ci sarebbe qualche cosa su cui discutere ed eventualmente aiutarti. Le persone qui sono sempre ben disposte ad investire il proprio tempo per fornire (gratuitamente) aiuto e suggerimenti a chiunque sia in difficoltà....però si richiede sempre un minimo di impegno da parte del richiedente aiuto[/ot]
Prima di tutto inizierei col calcolare il dominio della nuova variabile Z che non vedo scritto da nessuna parte nei messaggi precedenti.
Poi, ultimo Hint (anche se forse un po' troppo spinto verso la soluzione), semplicemente sviluppando ciò che ha scritto @arnett:
$F_Z(z)=P{-sqrt(z-1)
derivi[nota]- con $Phi(t)$ indico la funzione di ripartizione di una variabile Gaussiana Standard
- per poter risolvere occorre sapere come si deriva una funzione integrale ma questi non sono problemi di Statistica, casomai di Analisi.[/nota] e trovi la densità cercata. Oppure, dato che la traccia non ti chiede di calcolare espressamente la densità di probabilità, puoi anche lasciare questa espressione che è una valida CDF di Z, magari scrivendola per bene con il suo bel dominio.....
Ovviamente non c'è da calcolare alcun integrale né usare alcuna tavola.....z certo che rimane incognito, è il valore aleatorio della variabile casuale $Z$ di cui se ne sta cercando la densità....su $z$ puoi solo dire fra che valori è compreso....
Commento personale:
[ot]invece di fare tante domande potresti cominciare ad impostare tu una bozza di soluzione, almeno ci sarebbe qualche cosa su cui discutere ed eventualmente aiutarti. Le persone qui sono sempre ben disposte ad investire il proprio tempo per fornire (gratuitamente) aiuto e suggerimenti a chiunque sia in difficoltà....però si richiede sempre un minimo di impegno da parte del richiedente aiuto[/ot]
Prima di tutto inizierei col calcolare il dominio della nuova variabile Z che non vedo scritto da nessuna parte nei messaggi precedenti.
Poi, ultimo Hint (anche se forse un po' troppo spinto verso la soluzione), semplicemente sviluppando ciò che ha scritto @arnett:
$F_Z(z)=P{-sqrt(z-1)
derivi[nota]- con $Phi(t)$ indico la funzione di ripartizione di una variabile Gaussiana Standard
- per poter risolvere occorre sapere come si deriva una funzione integrale ma questi non sono problemi di Statistica, casomai di Analisi.[/nota] e trovi la densità cercata. Oppure, dato che la traccia non ti chiede di calcolare espressamente la densità di probabilità, puoi anche lasciare questa espressione che è una valida CDF di Z, magari scrivendola per bene con il suo bel dominio.....
Ovviamente non c'è da calcolare alcun integrale né usare alcuna tavola.....z certo che rimane incognito, è il valore aleatorio della variabile casuale $Z$ di cui se ne sta cercando la densità....su $z$ puoi solo dire fra che valori è compreso....
ok grazie,mi è chiaro(avevo svolto l'integrale e avevo sbagliato),ma ho un ultimo dubbio:quando derivo,non capisco bene come fare con la presenza di $\phi $ (premetto che non ho mai fatto cose del genere,sul libro si capisce pure poco )
ok ho letto che è la derivata di una funzione integrale,comunque mi trovavo fino al tuo punto,grazie
)ok ho letto che è la derivata di una funzione integrale,comunque mi trovavo fino al tuo punto,grazie
Derivare la funzione analitica di densità per $Z$, oltre che non richiesto espressamente dalla traccia, ha in verità poco senso pratico. Verrebbe così[nota]e come puoi controllare con Wolfram, è una valida densità di probabilità
[/nota]:
Ora da questa densità ti voglio vedere per calcolare, ad esempio, $P{10
Quindi dato che il testo chiede solo
io risolverei dicendo semplicemente che
Oltretutto con questa formulazione, snella e compatta, calcoli IMMEDIATAMENTE qualunque probabilità di Z, semplicemente con l'uso delle tavole della Gaussiana.
Per utilizzare "altri metodi", come suggerisce sempre @arnett, per via del fatto che la normale di partenza non è centrata, occorre passare attraverso la distribuzione chi quadro non centrale ma la faccenda non si semplifica, secondo me
Questa, ovviamente, è solo la mia opinione....ogni altra idea, critica o correzione è ben accetta.
[/nota]:$f_Z(z)=1/(20sqrt(2pi)sqrt(z-1))[e^((-(sqrt(z-1)-3)^2)/200)+e^((-(sqrt(z-1)+3)^2)/200)]I_((1;+oo))(z)$
Ora da questa densità ti voglio vedere per calcolare, ad esempio, $P{10
Quindi dato che il testo chiede solo
"gaetano0":
.Calcolare la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria $Z=1+Y^2$.
io risolverei dicendo semplicemente che
$F_Z(z)={{: ( 0 , ;z<=1 ),( Phi[(sqrt(z-1)-3)/10] -Phi[-(sqrt(z-1)+3)/10], ;z>1 ) :}$
Oltretutto con questa formulazione, snella e compatta, calcoli IMMEDIATAMENTE qualunque probabilità di Z, semplicemente con l'uso delle tavole della Gaussiana.
Per utilizzare "altri metodi", come suggerisce sempre @arnett, per via del fatto che la normale di partenza non è centrata, occorre passare attraverso la distribuzione chi quadro non centrale ma la faccenda non si semplifica, secondo me
Questa, ovviamente, è solo la mia opinione....ogni altra idea, critica o correzione è ben accetta.
ad entrambi.....ed ovviamente a chiunque interessato, propongo la seguente modifica come approfondimento.
Sia $X~B(p)$ e $Y~N(mu;sigma^2)$ indipendenti[nota]Diciamo ad esempio $p=0.6$, $mu=1$ e $sigma^2=4$[/nota].
Calcolare la distribuzione di
$W=X+Y^2$
$U=min(X,Y^2)$
....la seconda l'ho scirtta ma non l'ho ancora guardata nemmeno io..... 
le forumule che hai scritto non si vedono bene però ti faccio notare subito una cosa
il Dominio di $X$ è ${0;1}$ mentre quello di $Y^2$ è $[0;+oo)$
Quindi il dominio del minimo è $[0;1]$
Hai già notato che la distribuzione è mista, ovvero avrà una CDF con due salti in presenza dei valori di probabilità di $X$
Per cui il minimo sarà 0 con probabilità $(1-p)$ mentre varrà $y$ se $(X=1) nn (Y<1)$ oppure 1 se $(X=1) nn (Y>1)$
Le parentesi tonde grandi? ad esempio così?
$({: ( a ),( b ),( c ) :}$
controlla bene perché sono in aereoporto: sto scrivendo al volo senza carta e penna
le forumule che hai scritto non si vedono bene però ti faccio notare subito una cosa
il Dominio di $X$ è ${0;1}$ mentre quello di $Y^2$ è $[0;+oo)$
Quindi il dominio del minimo è $[0;1]$
Hai già notato che la distribuzione è mista, ovvero avrà una CDF con due salti in presenza dei valori di probabilità di $X$
Per cui il minimo sarà 0 con probabilità $(1-p)$ mentre varrà $y$ se $(X=1) nn (Y<1)$ oppure 1 se $(X=1) nn (Y>1)$
Le parentesi tonde grandi? ad esempio così?
$({: ( a ),( b ),( c ) :}$
controlla bene perché sono in aereoporto: sto scrivendo al volo senza carta e penna
[ot]$Phi((u-1)/2)$[/ot]
non ho tempo di controllarti i conti ma mi pare che tu abbia tutte le competenze necessarie per autocontrollarti. Se la CDF che hai calcolato è quella del max lasciala e scrivilo (può sempre tornare utile a qualche utente) però ne riesco a visualizzare solo una parte
Visto che può essere d'aiuto ad altri utenti, ecco anche la distribuzione della somma $Z=X+Y^2$ con i parametri proposti precedentemente
$F_Z(z)={{: ( 0 , ;z<0 ),( 0.4[Phi((sqrt(z)-1)/2)-Phi(-(sqrt(z)+1)/2)] ,;0<=z<1 ),( 0.4[Phi((sqrt(z)-1)/2)-Phi(-(sqrt(z)+1)/2)]+0.6[Phi((sqrt(z-1)-1)/2)-Phi(-(sqrt(z-1)+1)/2)] , ;z>=1 ) :}$
non ho tempo di controllarti i conti ma mi pare che tu abbia tutte le competenze necessarie per autocontrollarti. Se la CDF che hai calcolato è quella del max lasciala e scrivilo (può sempre tornare utile a qualche utente) però ne riesco a visualizzare solo una parte
Visto che può essere d'aiuto ad altri utenti, ecco anche la distribuzione della somma $Z=X+Y^2$ con i parametri proposti precedentemente
$F_Z(z)={{: ( 0 , ;z<0 ),( 0.4[Phi((sqrt(z)-1)/2)-Phi(-(sqrt(z)+1)/2)] ,;0<=z<1 ),( 0.4[Phi((sqrt(z)-1)/2)-Phi(-(sqrt(z)+1)/2)]+0.6[Phi((sqrt(z-1)-1)/2)-Phi(-(sqrt(z-1)+1)/2)] , ;z>=1 ) :}$
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