Variabile aleatoria e pdf ottenuta per approssimazione

[MrEngineer]

Salve ragazzi, dopodomani ho l'esame e se tutto va bene vi libererete di me. Il testo è il seguente:

"Sia $X$ la variabile aleatoria la cui funzione densità di probabilità è rappresentata in figura:

Inoltre, sia $Y$ la variabile aleatoria ottenuta approssimando la $X$ all'intero più vicino.
Si calcoli (a) la varianza di $X$; (b) si calcoli e disegni la densità di probabilità della $Y$; si calcoli (c) la media di $Y$; (d) la probabilità che $X$ sia maggiore di $1.1$ sapendo che $Y$ è uguale a $1$; (e) la probabilità che $X$ sia maggiore di $Y$."

[Risoluzione]
Ho calcolato che la $f_x(x) = 2/3$.
a) Al punto a la varianza di $X$ mi risulta $\sigma^2 = 28/9$
b) Al punto b ho immaginato che la $Y$ abbia degli impulsi in $-2,-1,1,2$. Ma di che ampiezza?

[Lo_zio_Tom]

"MrEngineer":
b) Al punto b ho immaginato che la $Y$ abbia degli impulsi in $-2,-1,1,2$. Ma di che ampiezza?

C'è poco da immaginare.....la pmf della Y viene così:

$f_(Y)(y)={{: ( 4/12 , ;y=-2 ),( 4/12 , ;y=-1 ),(1/12 , ;y=1 ),( 3/12 , ;y=2 ),(0 , ;" altrove" ) :}$

tieni presente che ho fatto i conti a mente....non serve nemmeno carta e penna.....posta il resto (che comunque non presenta particolari difficoltà) e vediamo.

[MrEngineer]

Posso con un pò di vergogna chiederti come sei arrivato a tale soluzione? proprio non mi viene in mente

[Lo_zio_Tom]

ma scusa eh....hai calcolato l'ordinata della $f(x)$ (che non ho controllato e dunque mi fido...)

se la Y è sempre la X arrotondata all'intero più vicino....per tutti i valori di $-2
ecc ecc

EDIT: ho scritto il tutto in dodicesimi per maggior facilità di lettura....visto che il totale delle probabilità deve fare uno.

Inoltre $f(x)=2/3$ è sbagliato.

La densità della $X$ è questa:

$f_X(x)={{: ( 2/3 , ;-2

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[MrEngineer]

"tommik":Inoltre $f(x)=2/3$ è sbagliato.

La densità della $X$ è questa:

$f_X(x)={{: ( 2/3 , ;-2

Forse mi sono espresso male. Volevo dire che il valore "massimo" in ordinata per il rettangolino tra $(-2,-1)$ e il triangolo in $(1,2)$ è pari a $2/3$. Poi giustamente tra $1$ e $2$ c'è una retta come dici. Domani provo ad andare avanti e ti faccio sapere.

[Lo_zio_Tom]

"MrEngineer":
[Risoluzione]
Ho calcolato che la $f_x(x) = 2/3$.

ma quello che hai scritto è errato (non so come lo possa valutare il tuo insegnante ma secondo me è un errore grave. Se invece è solo un refuso allora ok, come non detto).

Ad ogni modo la scrittura corretta è, ad esempio, questa: $f_X(2)=2/3$ ...e non è la stessa cosa di ciò che hai scritto tu.....intanto al pedice ci va la maiuscola (la variabile) mentre dentro la parentesi ci va il valore che la variabile assume....ad esempio 2. Credimi non sono dettagli, sono le basi del calcolo.

Per il resto dell'esercizio (così non ci perdi troppo tempo) basta una semplice ispezione del grafico per risolvere:

(d)
$mathbb{P}[X>1,1|Y=1]=mathbb{P}[X>1.1|1

è il rapporto fra l'area del trapezio "regimental" e quella del triangolo col perimetro rosso




(e)
$mathbb{P}(X>Y)$ è la somma delle aree "regimental"


Oppure, ancora più semplicemente, considerando come è stata definita la variabile $Y$

$mathbb{P}[X>Y]=mathbb{P}[Y=-2]+mathbb{P}[Y=1]=4/12+1/12=5/12$

[MrEngineer]

Si tommik ci mancherebbe, ho scritto una cosa errata. È giusto come dici, le notazioni vanno indicate correttamente altrimenti non si capisce cosa si voglia dire. Ti ringrazio per le dritte, appena arrivo a casa continuo a dare un occhio all'esercizio

[MrEngineer]

L'esame è oggi. Non sto più nella pelle. La probabilità che $X>Y = P(X>Y|Y=-2)P(Y=-2)+P(X>Y|Y=-1)P(Y=-1)+ P(X>Y|Y=1)P(Y=1)+P(X>Y|Y=2)P(Y=2)$?

[MrEngineer]

Esame superato! grazie a tutti voi per gli sforzi nell'aiutarmi e per l'impegno mostrato nei miei confronti. In particolare, grazie a Tommik, arnett e superpippone