Variabile aleatoria
Ho un problema con un semplice esercizio sull'argomento citato sopra anche se il problema in fondo è la mia scarsa abilità nell'affrontare problemi di analisi combinatoria. 
Un gruppo di 10 persone(5 donne e 5 uomini) ha sostenuto un esame. Ipotizzando che ciascuna delle $10!$ classifiche sia equiprobabile e denotando con $X$ la variabile aleatoria che indica la posizione più alta delle partecipanti donne determinare la $P{X=i}$ con $i=1,2,...,10$
Subito si può dire che $P{x=10}=P{x=9}=P{x=8}=P{x=7}=0$
Ora per $P{x=6}$ devo tenere conto di tutte le disposizioni che abbiano nell'ordine {5U,5D}, dove U indica uomini e D donne, sulle possibili $10!$ disposizioni quindi io ho fatto $P{x=6}=(5!*5!)/(10!)=1/252$ che è esatto
Per $P{x=5}$ ho (come per i successivi) tenuto conto delle possibili disposizioni che nello specifico sono tutti i modi in cui posizionare {4U,1D,(1U+4D)} che io ho indicato con $(4!*5!*4!)/(10!)$. Il problema è che procedendo così i risultati che inizialmente combaciano poi si distaccano quindi non credo di calcolare le disposizioni nel modo corretto..
Datemi un aiuto se potete.
Ciao
Un gruppo di 10 persone(5 donne e 5 uomini) ha sostenuto un esame. Ipotizzando che ciascuna delle $10!$ classifiche sia equiprobabile e denotando con $X$ la variabile aleatoria che indica la posizione più alta delle partecipanti donne determinare la $P{X=i}$ con $i=1,2,...,10$
Subito si può dire che $P{x=10}=P{x=9}=P{x=8}=P{x=7}=0$
Ora per $P{x=6}$ devo tenere conto di tutte le disposizioni che abbiano nell'ordine {5U,5D}, dove U indica uomini e D donne, sulle possibili $10!$ disposizioni quindi io ho fatto $P{x=6}=(5!*5!)/(10!)=1/252$ che è esatto
Per $P{x=5}$ ho (come per i successivi) tenuto conto delle possibili disposizioni che nello specifico sono tutti i modi in cui posizionare {4U,1D,(1U+4D)} che io ho indicato con $(4!*5!*4!)/(10!)$. Il problema è che procedendo così i risultati che inizialmente combaciano poi si distaccano quindi non credo di calcolare le disposizioni nel modo corretto..
Datemi un aiuto se potete.
Ciao
Risposte
"Dust":
Per $P{x=5}$ ho (come per i successivi) tenuto conto delle possibili disposizioni che nello specifico sono tutti i modi in cui posizionare {4U,1D,(1U+4D)} che io ho indicato con $(4!*5!*4!)/(10!)$.
su questo punto non ti seguo, il secondo 4! al num
"Dust":
Il problema è che procedendo così i risultati che inizialmente combaciano poi si distaccano quindi non credo di calcolare le disposizioni nel modo corretto..
puoi spiegare cosa intendi per 'inizialmente combaciano e poisi distaccano' ?
ciao
"luca.barletta":
[quote="Dust"]
Per $P{x=5}$ ho (come per i successivi) tenuto conto delle possibili disposizioni che nello specifico sono tutti i modi in cui posizionare {4U,1D,(1U+4D)} che io ho indicato con $(4!*5!*4!)/(10!)$.
su questo punto non ti seguo, il secondo 4! al num[/quote]
Quindi devo solo considerare $4!*5!$ dove $4!$ sono le possibili disposizioni dei primi 4 uomini ed il $5!$ indica le possibili disposizioni delle restanti 4D+1U?
E ad esempio nel $P{x=4}$ dove devo considerare tutte le disposizioni del tipo {3U,1D,(2U+4D)} come le indico?
Mi vergogno di avere lacune su queste cose, ma ahimè è così -_-
puoi spiegare cosa intendi per 'inizialmente combaciano e poisi distaccano' ?
ciao
Intendevo dire che i valori riguardanti $P{x=5}$,$P{x=6}$,$P{x=4}$ che ho trovato io combaciavano coi risultati del libro, mentre gli ultimi no($P{x=1},P{x=2},P{x=3}$)
volevo solo sapere il ragionamento che hai seguito
ho capito...
non so aiutarti in quanto la cosa si complica un po' e se non sono piu' che allenato su queste cose anche io ho parecchie difficolta' di 'calcolo'.
cmq, se ti puo' essere utile, posso dirti che spesso puoi semplificare il problema, per esempio in questo caso il problema sembra essere equivalente a quello di estrarre 5 numeri da un bussolotto contenente i numeri da 1 a 10 e stabilire la probabilita' che il minore numero estratto valga rispettivamente 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 , 10.
non so se si semplifica concettualemnte o per i calcoli, cmq questo era solo per dirti che spesso semplificando ti riconduci a problemi noti e magari gia' da te 'conosciuti' e 'fatti propri'.
alex
non so aiutarti in quanto la cosa si complica un po' e se non sono piu' che allenato su queste cose anche io ho parecchie difficolta' di 'calcolo'.
cmq, se ti puo' essere utile, posso dirti che spesso puoi semplificare il problema, per esempio in questo caso il problema sembra essere equivalente a quello di estrarre 5 numeri da un bussolotto contenente i numeri da 1 a 10 e stabilire la probabilita' che il minore numero estratto valga rispettivamente 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 , 10.
non so se si semplifica concettualemnte o per i calcoli, cmq questo era solo per dirti che spesso semplificando ti riconduci a problemi noti e magari gia' da te 'conosciuti' e 'fatti propri'.
alex
"luca.barletta":
volevo solo sapere il ragionamento che hai seguito
Ah, scusa, non lo avevo capito.
Comunque, per i primi 2 coefficienti è come ti ho detto sopra e quelli credo siano giusti. L'ultimo 4 a numeratore l'avevo inserito per un ragionamento sbagliato perchè non avevo contato che inserendo il $5!$ ottenevo tutte le disposizioni degli ultimi 5 elementi. Ad ogni modo non è esatto lasciare solo $4!*5!$ a numeratore, quindi devo moltiplicare per qualcos'altro. Solo che non so che cosa... XD Qualche idea ò_ò
"codino75":
ho capito...
non so aiutarti in quanto la cosa si complica un po' e se non sono piu' che allenato su queste cose anche io ho parecchie difficolta' di 'calcolo'.
cmq, se ti puo' essere utile, posso dirti che spesso puoi semplificare il problema, per esempio in questo caso il problema sembra essere equivalente a quello di estrarre 5 numeri da un bussolotto contenente i numeri da 1 a 10 e stabilire la probabilita' che il minore numero estratto valga rispettivamente 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 , 10.
non so se si semplifica concettualemnte o per i calcoli, cmq questo era solo per dirti che spesso semplificando ti riconduci a problemi noti e magari gia' da te 'conosciuti' e 'fatti propri'.
alex
Non credo serva molto semplificare visto che mi sembra che già questo sia una cosa abbastanza semplice(se solo fossi un po' più ferrato in calcolo. XD)
"Dust":
Ad ogni modo non è esatto lasciare solo $4!*5!$ a numeratore, quindi devo moltiplicare per qualcos'altro. Solo che non so che cosa... XD Qualche idea ò_ò
Esatto, devi contare anche i modi in cui puoi scegliere, ad esempio, i 4 uomini primi in classifica tra i 5 disponibili (se ho capito il tuo ragionamento)
"luca.barletta":
[quote="Dust"] Ad ogni modo non è esatto lasciare solo $4!*5!$ a numeratore, quindi devo moltiplicare per qualcos'altro. Solo che non so che cosa... XD Qualche idea ò_ò
Esatto, devi contare anche i modi in cui puoi scegliere, ad esempio, i 4 uomini primi in classifica tra i 5 disponibili (se ho capito il tuo ragionamento)[/quote]
Scusa ma non riesco a seguire il ragionamento. $|
Allora il 1° $4!$ indica tutti i modi in cui disporre i primi 4 uomini. Il $5!$ tutti i modi in cui disporre le 4D+1U dalla posizione 6 alla 10. Cosa significa ora "i modi in cui puoi scegliere"? So che sono 5(dal risultato) ma non so come interpretarlo nel calcolo.
Tu hai 5 uomini a disposizione e ne devi scegliere 4 da posizionare (nei 4! modi possibili) nelle prime 4 posizioni: quante scelte puoi fare? C(5,4)=5
"luca.barletta":
Tu hai 5 uomini a disposizione e ne devi scegliere 4 da posizionare (nei 4! modi possibili) nelle prime 4 posizioni: quante scelte puoi fare? C(5,4)=5
Ah.. Ecco! Cmq ora c'è già un'altra cosa che non mi riesco a spiegare. Perchè un ragionamento analogo non lo devo fare anche con le ultime 5 posizioni(4D+1U)
edit: Infatti il ragionamento analogo lo si deve fare. $C(5,4)=5$ identifica le possibili scelte tra le posizioni dei primi 4 uomini. Poi devo moltiplicare ancora per $C(5,4)=5$ che sono le scelte tra le 4 donne su 5 da disporre nelle posizioni dalla 6 alla 10.
Grazie di avermi aiutato nel ragionamento Luca. Ciao
Ormai che ci sono chiedo anche un'altra cosa qui(sempre relativa a esercizietti di analisi combinatoria):
Se ci sono 6 studenti(3 ragazzi e 3 ragazze), in quanti modi si possono disporre sapendo che 2 studenti dello stesso sesso non possono stare vicini?
Grazie
Se ci sono 6 studenti(3 ragazzi e 3 ragazze), in quanti modi si possono disporre sapendo che 2 studenti dello stesso sesso non possono stare vicini?
Grazie
Tieni conto che puoi avere solo 2 tipi di disposizione: MFMFMF oppure FMFMFM
Ok, quindi considerando 1 delle 2 disposizioni(ad es MFMFMF) so che posso scegliere il 1° M tra 3, il 2° tra 2 mentre il 3° può essere solo quello che rimane. Analoga cosa per le F, quindi $2*3*3*2*2*1*1=72$
In un caso come questo ho fatto un conto su misura, ma se volessi esprimerlo come formula generale per un esercizio del genere cosa sarebbe? $2*n!*n!$?
In un caso come questo ho fatto un conto su misura, ma se volessi esprimerlo come formula generale per un esercizio del genere cosa sarebbe? $2*n!*n!$?
"Dust":
In un caso come questo ho fatto un conto su misura, ma se volessi esprimerlo come formula generale per un esercizio del genere cosa sarebbe? $2*n!*n!$?
ok
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