Valutare l'indipendenza di due v.a.
Buon pomeriggio a tutti. Sto risolvendo un esercizio che tra le varie cose mi chiede di calcolare la PMF di due v.a. che sono così definite:
$Z=XY$
e
$U=X-Y$
dove $X$ ed $Y$ rappresentano i valori (da 1 a 3) presenti sulle facce di due dadi e quindi:
$X=1,1,2,2,3,3$
e
$Y=1,1,2,2,3,3$
Per quanto riguarda $Z$ la PMF mi è venuta:
$1/9$ per $P(Z=1), P(Z=4), P(Z=9)$
$2/9$ per $P(Z=6), P(Z=2), P(Z=3)$
Per quanto riguarda $U$ la PMF mi è venuta:
$1/9$ per $P(U=2), P(U=-2)$
$2/9$ per $P(U=-1), P(U=1)$
$1/3$ per $P(U=0)$
Adesso l'esercizio chiede di valutare se $Z$ ed $U$ sono statisticamente indipendenti. A questo punto sapendo che due v.a. discrete sono indipendenti se vale la seguente relazione: $P_(ZU)(Z=z, U=u)=P_Z(Z=z)*P_U(U=u)$ come faccio per effettuare questa valutazione? Potrei "banalmente" dire che tra le marginali di $Z$ e di $U$ è presente sia $1$ che $2$ e che quindi avendo un'intersezione non nulla sono dipendenti? Però da novellino della materia non mi sembra rigoroso come procedimento
Grazie in anticipo a tutti
$Z=XY$
e
$U=X-Y$
dove $X$ ed $Y$ rappresentano i valori (da 1 a 3) presenti sulle facce di due dadi e quindi:
$X=1,1,2,2,3,3$
e
$Y=1,1,2,2,3,3$
Per quanto riguarda $Z$ la PMF mi è venuta:
$1/9$ per $P(Z=1), P(Z=4), P(Z=9)$
$2/9$ per $P(Z=6), P(Z=2), P(Z=3)$
Per quanto riguarda $U$ la PMF mi è venuta:
$1/9$ per $P(U=2), P(U=-2)$
$2/9$ per $P(U=-1), P(U=1)$
$1/3$ per $P(U=0)$
Adesso l'esercizio chiede di valutare se $Z$ ed $U$ sono statisticamente indipendenti. A questo punto sapendo che due v.a. discrete sono indipendenti se vale la seguente relazione: $P_(ZU)(Z=z, U=u)=P_Z(Z=z)*P_U(U=u)$ come faccio per effettuare questa valutazione? Potrei "banalmente" dire che tra le marginali di $Z$ e di $U$ è presente sia $1$ che $2$ e che quindi avendo un'intersezione non nulla sono dipendenti? Però da novellino della materia non mi sembra rigoroso come procedimento
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
"Marco Beta2":
A questo punto sapendo che due v.a. discrete sono indipendenti se vale la seguente relazione: $P_(ZU)(Z=z, U=u)=P_Z(Z=z)*P_U(U=u)$ come faccio per effettuare questa valutazione?
Potresti farlo brutalmente a mano per ogni coppia possibile di valori di $u$ e $z$.
Ma magari non è necessario. Se $Z$ è 9, cosa può essere $U$? Se $U$ è 0, cosa può essere $Z$?
"ghira":
Potresti farlo brutalmente a mano per ogni coppia possibile di valori di $u$ e $z$.
Ma magari non è necessario. Se $Z$ è 9, cosa può essere $U$? Se $U$ è 0, cosa può essere $Z$?
Io proprio qui mi sono fermato... mi sono fatto la tua stessa domanda ma non riesco a capire come associare i due eventi e quindi come proseguire nell'analisi
Allora avevo pensato ai diagrammi di Venn ma non penso sia la strada giusta... Avevo anche pensato di procedere per ogni coppia possibile ma anche qui mi sfugge il procedimento, perchè immagino che debba crearmi una tabellina con tutte le probabilità (congiunte) e poi valuare se combaciano con il prodotto delle marginali penso
"Marco Beta2":
Io proprio qui mi sono fermato... mi sono fatto la tua stessa domanda ma non riesco a capire come associare i due eventi e quindi come proseguire nell'analisi
Non capisco. Ti dico che $Z$ è 9. Cosa puoi dirmi di $U$?
"ghira":
Non capisco. Ti dico che $Z$ è 9. Cosa puoi dirmi di $U$?
Da ignorante in materia posso dirti che se $Z=9$ di $U$ non posso dirti nulla dato che negli elementi non ha $9$, stesso discorso se $U=0$, in $Z$ non ho $0$... Non so se ho colto il tuo ragionamento...
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]
Non capisco. Ti dico che $Z$ è 9. Cosa puoi dirmi di $U$?
Da ignorante in materia posso dirti che se $Z=9$ di $U$ non posso dirti nulla dato che negli elementi non ha $9$, stesso discorso se $U=0$, in $Z$ non ho $0$... Non so se ho colto il tuo ragionamento...[/quote]
Non ti seguo. Se $Z$ è 9, cosa sono $X$ e $Y$? E quindi cosa è $U$? Che c'entra che $U$ "negli elementi non ha $9$"?
"ghira":
...
$X$ ed $Y$ sono le v.a. che rappresentano i valori delle facce dei dadi e quindi se $Z=9$, per come è stata costruita ($Z=XY$)vuol dire che ho $x=3$ e $y=3$
Per quanto riguarda $U$ è un'altra v.a. definita però come $U=X-Y$
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]...
$X$ ed $Y$ sono le v.a. che rappresentano i valori delle facce dei dadi e quindi se $Z=9$, per come è stata costruita ($Z=XY$)vuol dire che ho $x=3$ e $y=3$
Per quanto riguarda $U$ è un'altra v.a. definita però come $U=X-Y$[/quote]
e?... mi hai appena detto i valori di $X$ e $Y$. Quindi... ?
"ghira":
...
Io onestamente non ho capito il tuo ragionamento... anche perchè il punto di partenza di tale ragionamento è proprio quello per il quale ho inserito la domanda sul forum, non mi era chiaro prima e non mi è chiaro adesso
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]...
Io onestamente non ho capito il tuo ragionamento... anche perchè il punto di partenza di tale ragionamento è proprio quello per il quale ho inserito la domanda sul forum, non mi era chiaro prima e non mi è chiaro adesso
[/quote]Informalmente, cosa vuol dire se due variabili aleatorie sono indipendenti?
Mi dici che $X$ e $Y$ sono entrambe 3 e che $U$ è $X-Y$. Allora $U$ quant'è?
"ghira":
Informalmente, cosa vuol dire se due variabili aleatorie sono indipendenti?
In modo molto informale vuol dire che il verificarsi di una non altera il verificarsi dell'altra...
"ghira":
Mi dici che $X$ e $Y$ sono entrambe 3 e che $U$ è $X-Y$. Allora $U$ quant'è?
A parità di valori avrò $U=0$
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]
Informalmente, cosa vuol dire se due variabili aleatorie sono indipendenti?
In modo molto informale vuol dire che il verificarsi di una non altera il verificarsi dell'altra...
[/quote]
"verificarsi"?
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]
Mi dici che $X$ e $Y$ sono entrambe 3 e che $U$ è $X-Y$. Allora $U$ quant'è?
A parità di valori avrò $U=0$[/quote]
Se $Z$ è 9, $U$ è sicuramente 0?
In generale, $U$ è sicuramente 0?
"ghira":
"verificarsi"?
Ho confuso con la definizione di evento indipendente... Per le v.a. si ha che sono indipendenti se: $P_(ZU)(Z=z, U=u)=P_Z(Z=z)*P_U(U=u)$
"ghira":
Se $Z$ è 9, $U$ è sicuramente 0?
In generale, $U$ è sicuramente 0?
Se $Z=9$ allora $U$ sarà sempre pari a zero dato che l'unica coppia che mi permette di avere $9$ è $(3,3)$, in generale $U$ non è sempre pari a zero perchè se prendo $Z=2$ avrò $U=-1$ per la coppia $(1,2)$ o $U=1$ per la coppia $(2,1)$
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]
"verificarsi"?
Ho confuso con la definizione di evento indipendente... Per le v.a. si ha che sono indipendenti se: $P_(ZU)(Z=z, U=u)=P_Z(Z=z)*P_U(U=u)$
[/quote]
E informalmente?
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]
Se $Z$ è 9, $U$ è sicuramente 0?
In generale, $U$ è sicuramente 0?
Se $Z=9$ allora $U$ sarà sempre pari a zero dato che l'unica coppia che mi permette di avere $9$ è $(3,3)$, in generale $U$ non è sempre pari a zero perchè se prendo $Z=2$ avrò $U=-1$ per la coppia $(1,2)$ o $U=1$ per la coppia $(2,1)$[/quote]
Quindi se ti dico che $Z$ è 9 sai qualcosa di $U$ che non sapevi prima.
"ghira":
E informalmente?
Non saprei... se me la scrivi me la segno negli appunti...
"ghira":
Quindi se ti dico che $Z$ è 9 sai qualcosa di $U$ che non sapevi prima.
Questo si... ma vuol dire che sono indipendenti quindi?
Se lancio due dadi e ti dico il valore del primo, (verosimilmente) sai qualcosa sul valore del secondo che altrimenti non avresti saputo?
"ghira":
...
Se mi dici il valore di un solo dado no
"Marco Beta2":
[quote="ghira"]...
Se mi dici il valore di un solo dado no[/quote]
I (risultati dei lanci dei) due dadi sono dipendenti o indipendenti?
$U$ e $Z$ nel tuo problema sono dipendenti o indipendenti?
I dadi nel tuo esempio sono indipendenti e nel mio anche perchè ne lancio uno due volte
OK fallo nel modo più brutale possibile.
\begin{matrix}
& X & Y & Z & U & probabilità\\
& 1 & 1 & ? & ? & ?\\
& 1 & 2 & ? & ? & ?\\
& 1 & 3 & ? & ? & ?\\
& 2 & 1 & ? & ? & ?\\
& 2 & 2 & ? & ? & ?\\
& 2 & 3 & ? & ? & ?\\
& 3 & 1 & ? & ? & ?\\
& 3 & 2 & ? & ? & ?\\
& 3 & 3 & ? & ? & ?\\
\end{matrix}
Poi fai esattamente quello che hai detto nel tuo primo messaggio.
Vedi se è vero o no che $P_(ZU)(Z=z, U=u)=P_Z(Z=z)*P_U(U=u)$
\begin{matrix}
& X & Y & Z & U & probabilità\\
& 1 & 1 & ? & ? & ?\\
& 1 & 2 & ? & ? & ?\\
& 1 & 3 & ? & ? & ?\\
& 2 & 1 & ? & ? & ?\\
& 2 & 2 & ? & ? & ?\\
& 2 & 3 & ? & ? & ?\\
& 3 & 1 & ? & ? & ?\\
& 3 & 2 & ? & ? & ?\\
& 3 & 3 & ? & ? & ?\\
\end{matrix}
Poi fai esattamente quello che hai detto nel tuo primo messaggio.
Vedi se è vero o no che $P_(ZU)(Z=z, U=u)=P_Z(Z=z)*P_U(U=u)$
Ti ritornano le probabilità ghira? C'è una sola coppia di valori delle 9 disponibili che soddisfano entrambe le condizioni
\begin{matrix}
& X & Y & Z & U & probabilità\\
& 1 & 1 & 1 & 0 & 1/9\\
& 1 & 2 & 2 & -1 & 1/9\\
& 1 & 3 & 3 & -2 & 1/9\\
& 2 & 1 & 2 & 1 & 1/9\\
& 2 & 2 & 4 & 0 & 1/9\\
& 2 & 3 & 6 & -1 & 1/9\\
& 3 & 1 & 3 & 2 & 1/9\\
& 3 & 2 & 6 & 1 & 1/9\\
& 3 & 3 & 9 & 0 & 1/9\\
\end{matrix}
Se quanto ho scritto è vero ho anche che(per la prima riga): $P(Z=1)*P(U=0)=1/9 * 1/3 = 1/27$ che è diverso da $1/9$ e l'uguaglianza non è verificata e quindi sono dipendenti
\begin{matrix}
& X & Y & Z & U & probabilità\\
& 1 & 1 & 1 & 0 & 1/9\\
& 1 & 2 & 2 & -1 & 1/9\\
& 1 & 3 & 3 & -2 & 1/9\\
& 2 & 1 & 2 & 1 & 1/9\\
& 2 & 2 & 4 & 0 & 1/9\\
& 2 & 3 & 6 & -1 & 1/9\\
& 3 & 1 & 3 & 2 & 1/9\\
& 3 & 2 & 6 & 1 & 1/9\\
& 3 & 3 & 9 & 0 & 1/9\\
\end{matrix}
Se quanto ho scritto è vero ho anche che(per la prima riga): $P(Z=1)*P(U=0)=1/9 * 1/3 = 1/27$ che è diverso da $1/9$ e l'uguaglianza non è verificata e quindi sono dipendenti
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