Valutare l'indipendenza di due v.a.

[Marco Beta2]

Buon pomeriggio a tutti. Sto risolvendo un esercizio che tra le varie cose mi chiede di calcolare la PMF di due v.a. che sono così definite:

$Z=XY$
e
$U=X-Y$

dove $X$ ed $Y$ rappresentano i valori (da 1 a 3) presenti sulle facce di due dadi e quindi:
$X=1,1,2,2,3,3$
e
$Y=1,1,2,2,3,3$


Per quanto riguarda $Z$ la PMF mi è venuta:
$1/9$ per $P(Z=1), P(Z=4), P(Z=9)$

$2/9$ per $P(Z=6), P(Z=2), P(Z=3)$



Per quanto riguarda $U$ la PMF mi è venuta:
$1/9$ per $P(U=2), P(U=-2)$

$2/9$ per $P(U=-1), P(U=1)$

$1/3$ per $P(U=0)$

Adesso l'esercizio chiede di valutare se $Z$ ed $U$ sono statisticamente indipendenti. A questo punto sapendo che due v.a. discrete sono indipendenti se vale la seguente relazione: $P_(ZU)(Z=z, U=u)=P_Z(Z=z)*P_U(U=u)$ come faccio per effettuare questa valutazione? Potrei "banalmente" dire che tra le marginali di $Z$ e di $U$ è presente sia $1$ che $2$ e che quindi avendo un'intersezione non nulla sono dipendenti? Però da novellino della materia non mi sembra rigoroso come procedimento

Grazie in anticipo a tutti

[ghira1]

"Marco Beta2":sono dipendenti

Infatti sono dipendenti. E basta trovare un caso dove non vale la tua condizione. Per esempio $Z=9$, $U=1$.

[Marco Beta2]

"ghira":[quote="Marco Beta2"]sono dipendenti

Infatti sono dipendenti. E basta trovare un caso dove non vale la tua condizione. Per esempio $Z=9$, $U=1$.[/quote]

In che senso?

[ghira1]

"Marco Beta2":[quote="ghira"][quote="Marco Beta2"]sono dipendenti

Infatti sono dipendenti. E basta trovare un caso dove non vale la tua condizione. Per esempio $Z=9$, $U=1$.[/quote]

In che senso?[/quote]

Nel senso che la probabilità che $Z=9$ e $U=1$ è 0. Che sicuramente non è $P(Z=9).P(U=1)$ visto che nessuno dei due è 0.

Non è necessario fare i calcoli per ogni combinazione. Se trovi una combinazione "invalida", le variabili sono dipendenti e non è necessario controllare le altre combinazioni.

[Marco Beta2]

Perfetto è tutto più chiaro adesso... Un'ultima cosa, tu hai citato $Z=9$ e $U=1$ che non fanno parte delle casistiche venute fuori dall'analisi dell'esercizio, ma se prendo ad esempio quella che ho citato prima, $Z=1$ e $U=0$, comunque non mi verifica l'uguaglianza($1/9 != 1/27$) pur non essendo zero e quindi comunque posso affermare con certezza che sono dipendenti, giusto? Ti chiedo perchè nel caso all'esame dovesse venir fuori una situazione del genere, mi controllo quelle che ho piuttosto che quelle che non ho, per una questione di rapidità/sicurezza nel metodo tutto qua.
Grazie ancora

[ghira1]

"Marco Beta2":Perfetto è tutto più chiaro adesso... Un'ultima cosa, tu hai citato $Z=9$ e $U=1$ che non fanno parte delle casistiche venute fuori dall'analisi dell'esercizio,

Ma che dici? $Z=9$ è possibile. $U=1$ è possibile. Se $Z$ e $U$ fossero indipedenti potrebbero succedere simultaneamente. Ma questo è impossibile. Finito.

"Marco Beta2": ma se prendo ad esempio quella che ho citato prima, $Z=1$ e $U=0$, comunque non mi verifica l'uguaglianza($1/9 != 1/27$) pur non essendo zero e quindi comunque posso affermare con certezza che sono dipendenti, giusto? Ti chiedo perchè nel caso all'esame dovesse venir fuori una situazione del genere, mi controllo quelle che ho piuttosto che quelle che non ho, per una questione di rapidità/sicurezza nel metodo tutto qua.
Grazie ancora

Il discorso "quello che non hai" non mi convince. Hai quei valori. Ma non insieme. Ma certo, basta trovare una qualsiasi combinazione dove non funzioni l'uguaglianza. Chiaramente se le variabili sono indipendenti non troverai una tale combinazione.

[Marco Beta2]

Beh si il mio discorso era sempre riferito ai dati che ho, non in generale, so benissimo che $Z=9$ e $U=1$ sono possibili con un dado numerato come dice il problema e con il numero di lanci che voleva il problema... comunque è tutto più chiaro.
Grazie mille per la disponibilità al prossimo dubbio

[ghira1]

"Marco Beta2":Beh si il mio discorso era sempre riferito ai dati che ho, non in generale, so benissimo che $Z=9$ e $U=1$ sono possibili con un dado numerato come dice il problema e con il numero di lanci che voleva il problema... comunque è tutto più chiaro.
Grazie mille per la disponibilità al prossimo dubbio

Anzi, un modo per fare questo esercizio sarebbe:
$Z$ assume 6 valori diversi. $U$ assume 5 valori diversi. Quindi se fossero indipendenti ci sarebbero 30 possibili combinazioni di $Z$ e $U$ (con probabilità maggiori di 0). Ma dal modo in cui sono definite, sappiamo che ci sono al massimo 9 combinazioni diverse. (Potenzialmente di meno: alcune combinazioni _potrebbero_ apparire in più di un modo.) Quindi $Z$ e $U$ devono essere dipendenti.

[Marco Beta2]

Questo anche sarebbe stato un bel metodo, ma ci vuole molta esperienza per vedere queste cose tra le righe... io purtroppo ci sto lavorando da poco e pur avendo visto abbastanza bene la teoria tante volte sugli esercizi mi perdo