Valore medio variabile aleatoria

[mbistato]

Ciao ragazzi,
sono alle prese con il seguente problema:

Dovete aprire una porta e ci sono 5 chiavi, di cui solo una è quella effettivamente funzionante. Scegliete a caso una chiave e la provate: se apre la porta entrate; altrimenti mettete da parte tale chiave e ne provate un'altra. SI continua a provare chiavi, consecutivamente, finchè, non si trova quella giusta e si entra. Qual'è il numero medio di tentativi che dovete fare?

Questo è stato il mio ragionamento.
Indico con X il numero di tentativi che devo fare, allora si ha:

$$\begin{eqnarray*}
P(X=1)&=&1/5\\
P(X=2)&=&1/4\\
P(X=3)&=&1/3\\
P(X=4)&=&1/4\\
P(X=5)&=&1/1=1\end{eqnarray*}$$

Infine calcolo il valore atteso mediante la definizione:
$E(X)=1*\frac{1}{5}+2*\frac{1}{4}+3*\frac{1}{3}+4*\frac{1}{2}+5*1=9$ circa

Ottengo un valore scorretto ma non capisco dove il mio ragionamento fa acqua.

[Seneca1]

Il ragionamento è scorretto perché quelle che stai calcolando progressivamente sono probabilità condizionate.

$P(X = 1) $, $P(X = 2 | X > 1 )$, $P(X = 3 | X > 2)$, ...

[superpippone]

La chiave "giusta" posso "imbroccarla" in maniera equiprobabile al primo tentativo, al secondo, al tezo, al quarto o al quinto.

Quindi mediamente farò $(1+2+3+4+5)/5=15/5=3$ tentativi.

[mbistato]

Grazie a tutti, adesso è più chiaro!