Valore medio, gioco equo
Un conoscente vi propone il seguente gioco. Voi gli versate una "scommessa" S e poi lanciate 10 volte una moneta equa. Se escono tutte croci, oppure un numero di teste inferiori al numero di croci, allora voi perdete. In caso contrario, il gioco si interrompe appena il numero delle teste supera quello delle croci e il vostro avversario vi paga una somma W.
Calcolare la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria "vincita" e stabilire la relazione che deve intercorrere tra W e S affinchè il gioco sia equo.
Devo usare il valore medio, vero? Ma come devo calcolare la distribuzione in funzione della v.a. vincita? Basta che capisco solo questo passaggio....
Calcolare la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria "vincita" e stabilire la relazione che deve intercorrere tra W e S affinchè il gioco sia equo.
Devo usare il valore medio, vero? Ma come devo calcolare la distribuzione in funzione della v.a. vincita? Basta che capisco solo questo passaggio....
Risposte
Allora io so che VINCO solo nei casi in cui il numero di teste supera il numero di croci, e questi sono
(10,0) (9,1) (8,2) (7,3) (6,4) dove la prima coordinata sono le teste e la seconda le croci
allora la probabilità che avvengano tutti questi casi è la somma delle probabilità (sono eventi indipendenti), dunque
P((10,0))= \(\displaystyle 1/2^{10} \)
P((9,1))= \(\displaystyle 10/2^{10} \) perchè posso avere 10 casi in cui ho 9 teste cioè TTTTTTTTTC TTTTTTTTCT ecc ecc
P((8,2))= \(\displaystyle 10*9/2*2^{10} \)
P((7,3))= \(\displaystyle 10*9*8/6*2^{10} \)
P((6,4))= \(\displaystyle 10*9*8*7/4!*2^{10} \) HO SBAGLIATO A NON CONSIDERARE IL CASO (5,5)????
Quindi la probabilità totale che io riesca a vincere la scommessa è di \(\displaystyle 1/2^{10} + 10/2^{10}+ 90/2^{11}+ 720/3*2^{11}+ 5040/3*2^{13} = 89/256 = 0.35 \) ....... questa è la probabilità di vincere...
A questo punto se X= "vincita" io ho che la distribuzione di probabilità è
\(\displaystyle x_i \)............X=W............X=-S
\(\displaystyle f(x_i) \).........0.35 ........ 1-0.35= 0.65
Dunque il valore medio \(\displaystyle \mu = W*0.35 - S*0.65 = 7W/20 - 13S/20 \) affinchè il gioco sia equo deve essere \(\displaystyle \mu = S \) dunque \(\displaystyle 7W/20 - 13S/20 = S \) e cioè \(\displaystyle S=7/33W \).
Ditemi che ho fatto bene vi prego......
(10,0) (9,1) (8,2) (7,3) (6,4) dove la prima coordinata sono le teste e la seconda le croci
allora la probabilità che avvengano tutti questi casi è la somma delle probabilità (sono eventi indipendenti), dunque
P((10,0))= \(\displaystyle 1/2^{10} \)
P((9,1))= \(\displaystyle 10/2^{10} \) perchè posso avere 10 casi in cui ho 9 teste cioè TTTTTTTTTC TTTTTTTTCT ecc ecc
P((8,2))= \(\displaystyle 10*9/2*2^{10} \)
P((7,3))= \(\displaystyle 10*9*8/6*2^{10} \)
P((6,4))= \(\displaystyle 10*9*8*7/4!*2^{10} \) HO SBAGLIATO A NON CONSIDERARE IL CASO (5,5)????
Quindi la probabilità totale che io riesca a vincere la scommessa è di \(\displaystyle 1/2^{10} + 10/2^{10}+ 90/2^{11}+ 720/3*2^{11}+ 5040/3*2^{13} = 89/256 = 0.35 \) ....... questa è la probabilità di vincere...
A questo punto se X= "vincita" io ho che la distribuzione di probabilità è
\(\displaystyle x_i \)............X=W............X=-S
\(\displaystyle f(x_i) \).........0.35 ........ 1-0.35= 0.65
Dunque il valore medio \(\displaystyle \mu = W*0.35 - S*0.65 = 7W/20 - 13S/20 \) affinchè il gioco sia equo deve essere \(\displaystyle \mu = S \) dunque \(\displaystyle 7W/20 - 13S/20 = S \) e cioè \(\displaystyle S=7/33W \).
Ditemi che ho fatto bene vi prego......
nessuno mi risponde???
suvvia abbi pazienza. Ho visto che hai eliminato il secondo post che hai scritto ieri e lo hai ripostato penso per fare una specie di up.
Per rifare Up devono passare 24h!! perciò non farlo più ed attendi qualcuno che abbia TEMPO di leggere e rispondere adeguatamente al tuo quesito.
Per rifare Up devono passare 24h!! perciò non farlo più ed attendi qualcuno che abbia TEMPO di leggere e rispondere adeguatamente al tuo quesito.
Una cosa non capisco:
il gioco è il lancio per 10 volti della moneta.
Cosa si riferisce con "il gioco si interrompre"? intende dire che ci posson essere <10 lanci?
cambia il modello di un bel po', dal tipo di interpretazione.
In caso contrario, il gioco si interrompe appena il numero delle teste supera quello delle croci e il vostro avversario vi paga una somma W.
il gioco è il lancio per 10 volti della moneta.
Cosa si riferisce con "il gioco si interrompre"? intende dire che ci posson essere <10 lanci?
cambia il modello di un bel po', dal tipo di interpretazione.
io penso che se ottengo per sei volte di fila TESTA (oppure 5 T 1C e poi 1T) allora l'avversario perde. Io l'ho interpretata così...
"matleta":
io penso che se ottengo per sei volte di fila TESTA (oppure 5 T 1C e poi 1T) allora l'avversario perde. Io l'ho interpretata così...
infatti quella frase "il gioco si interrompe" allora è solo per far confusione e dire: appena si hanno 6 teste si ha già la certezza di aver vinto che siano 10 lanci o 6 lanci con 6 teste consecutive.
Sì come hai fatto direi va bene. Il caso (5,5) è un caso limite io lo interpreterei da come è esposto il testo, in questo casi si perde perchè si dice "appena le teste superano le croci". Perciò vincita ssse >5
Perciò la prob. di vincere è se si hanno almeno sei teste: $P(X>=6)$ o simile appena si hanno $6$ teste P(X=6) con $X \sim Bin(10,1/2)$.
$P($vincita) = $P(X>=6) = \sum_{k=6}^{10} ((10),(k))*(1/2)^k*(1-1/2)^(10-k) \approx 0.377$
$P($perdita) = $P(X<=5) = \sum_{k=0}^{5} ((10),(k))*(1/2)^k*(1-1/2)^(10-k) \approx 0.623$
per il gioco equo ci rifletterò.
"hamming_burst":
per il gioco equo ci rifletterò.
Il problema è che in alcuni testi (come ho già postato in precedenza) il gioco è equo se \(\displaystyle \mu = S \) dove \(\displaystyle S \) è la scommessa; in MOLTI altri invece leggo che il gioco è equo sse \(\displaystyle \mu =0 \). Resterà un mistero?
"matleta":
Dunque il valore medio \(\displaystyle \mu = W*0.35 - S*0.65 = 7W/20 - 13S/20 \) affinchè il gioco sia equo deve essere \(\displaystyle \mu = S \) dunque \(\displaystyle 7W/20 - 13S/20 = S \) e cioè \(\displaystyle S=7/33W \).
Il problema è che in alcuni testi (come ho già postato in precedenza) il gioco è equo se \(\displaystyle \mu = S \) dove \(\displaystyle S \) è la scommessa; in MOLTI altri invece leggo che il gioco è equo sse \(\displaystyle \mu =0 \). Resterà un mistero?
qui riassume bene la situazione del gioco equo in caso di scommessa preventiva per singola giocata (si parla anche del caso val atteso = 0). Il tuo calcolo mi pare sia corretto tranne per la prob di perdita che sul link chiama prob. di giocata, che direi in questo caso è corretto il link...
Considera comunque che la definizione di gioco equo si diversifica al tipo di scommessa es. con il noto paradosso di San Pietroburgo si scommette ad ogni giocata e la vincita cambia. Nel tuo caso la scommessa è unica come la vincita, diciamo che la v.a. Che descrive questo gioco è una binomiale con p di vincita descritta anch'essa da una binomiale.
cmq si son discussi vari sistemi per definire una puntata equa nei casi di puntate diverse, quello discusso in questo caso è uno dei tanti (come descrisse anche Daniel Bernoulli, proprio nello stesso articolo dove ho preso la mia firma).
Che intendi con probabilità di perdita?
"matleta":
Che intendi con probabilità di perdita?
la prob. di non vincere, cioè 0.65 (o meglio 0.623)
Se non comprendi ciò che è discusso nel link ne parliamo, era solo per non ricopiare cose già esposte...
Il gioco è equo quando il valore atteso della v.a. guadagno netto é uguale a 0. Il guadagno netto è dato dalla differenza tra quello che ricevi e quello che spendi. Dunque deve essere $ mu=0$.
Ma in questo caso io non so se la somma che potrei vincere W supera la scommessa S oppure è uguale.... non saprei. Io ho posto \(\displaystyle \mu =S \)
"matleta":
Ma in questo caso io non so se la somma che potrei vincere W supera la scommessa S oppure è uguale....
infatti devi valutarlo te, ma se è un gioco equo sarà zero.
non saprei. Io ho posto \(\displaystyle \mu =S \)
in pratica tu dici che la vincita media è esattamente ciò che paghi (ti viene restituito e la differenza è zero) che in qualche modo potrebbe essere anche una risposta.
"hamming_burst":
in pratica tu dici che la vincita media è esattamente ciò che paghi (ti viene restituito e la differenza è zero) che in qualche modo potrebbe essere anche una risposta.
Partiamo da qui...se chiamiamo con X la v.a. che ci dice quanto vinciamo (e non quanto perdiamo ma solo quello che entra, e dunque la consideriamo positiva) e con Y la v.a. di quanto paghiamo (stesso discorso di prima) allora la vincita netta sarà data da Z=X-Y ed il gioco è equo quando il valore atteso di Z è 0.
La condizione $mu=S$ salta fuori in una scommessa dove quello che paghiamo è una quota determinata e la paghiamo con certezza (tipo la scommessa alla snai: vai li e paghi poi se avviene l'evento incassi).
In questo caso se definisci con $mu=E[X]$ allora il gioco è equo quando $mu=S$ (il valore atteso di quello che incassi è uguale a quello che paghi).
Nota infine che le due definizioni non sono in contrasto perchè in questo secondo caso non è niente altro che $Y=S$ quasi certamente e la condizione di prima ti dice $E[Z]=0$.
Come faccio a calcolare la variabile aleatoria \(\displaystyle Z=X-Y \) ??
A questo punto \(\displaystyle \mu = 377/100W - 623/100S \) \(\displaystyle \mu = S <=> S= 377/723 W \)
giusto così?
A questo punto \(\displaystyle \mu = 377/100W - 623/100S \) \(\displaystyle \mu = S <=> S= 377/723 W \)
giusto così?
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