Valore atteso per variabile geometrica
Ciao a tutti,
sto avendo difficoltà nel calcolare il valore atteso per una v.a. geometrica, $X\simG(p)$
Per la precisione nel mio caso $X$ rappresenta il numero di lanci necessari per avere il primo successo.
$E[X]=\sum_{k=1}^(+\infty) kp(1-p)^(k-1)$
a questo punto ho ragionato così:
$k(1-p)^(k-1)=-d/(dp)(1-p)^k$
e di conseguenza ho posto $\sum_{k=1}^(+\infty) kp(1-p)^(k-1)=p\sum_{k=1}^(+\infty) [-d/(dp)(1-p)^k]$
ed è qui che mi bloccco.
Dato che quella non è la derivata di una serie di potenze, non posso applicare il teorema che afferma che la somma della serie derivata,
è uguale alla derivata della somma della serie di partenza, ammesso che ci sia convergenza uniforme, o sbaglio?
Potreste fornirmi qualche suggerimento per proseguire?
Oppure conviene usare un altro metodo più semplice?
Ringrazio in anticipo
sto avendo difficoltà nel calcolare il valore atteso per una v.a. geometrica, $X\simG(p)$
Per la precisione nel mio caso $X$ rappresenta il numero di lanci necessari per avere il primo successo.
$E[X]=\sum_{k=1}^(+\infty) kp(1-p)^(k-1)$
a questo punto ho ragionato così:
$k(1-p)^(k-1)=-d/(dp)(1-p)^k$
e di conseguenza ho posto $\sum_{k=1}^(+\infty) kp(1-p)^(k-1)=p\sum_{k=1}^(+\infty) [-d/(dp)(1-p)^k]$
ed è qui che mi bloccco.
Dato che quella non è la derivata di una serie di potenze, non posso applicare il teorema che afferma che la somma della serie derivata,
è uguale alla derivata della somma della serie di partenza, ammesso che ci sia convergenza uniforme, o sbaglio?
Potreste fornirmi qualche suggerimento per proseguire?
Oppure conviene usare un altro metodo più semplice?
Ringrazio in anticipo
Risposte
Mi sembra che utilizzando la funzione generatrice dei momenti sia più semplice.
Se vuoi ti illustro il metodo.
Se vuoi ti illustro il metodo.
Si penso che la funzione generatrice sia la via migliore.
Se no puoi fare così per quel tipo di somme:
chiama $q=1-p$
tu hai $sum_(k=1)^(+infty) kq^k=$
$=$
$q+$
$q^2+q^2+$
$q^3+q^3+q^3...$
Ora somma per colonna
Se no puoi fare così per quel tipo di somme:
chiama $q=1-p$
tu hai $sum_(k=1)^(+infty) kq^k=$
$=$
$q+$
$q^2+q^2+$
$q^3+q^3+q^3...$
Ora somma per colonna
Vi ringrazio per le risposte.
La funzione generatrice non è presente tra gli argomenti del programma del corso di probabilità della mia facoltà,
quindi non ho proprio idea di cosa possa essere. Vedrò di informarmi un pò.
Per quanto riguarda il suggerimento di DajeForte, in poche parole otterrei:
$\sum_{k=1}^(+\infty) q^k + \sum_{k=2}^(+\infty) q^k + \sum_{k=3}^(+\infty) q^k + ...$
Ma il problema è che, dato che $k\in[1,+\infty)$ come si effettua il calcolo completo?
La funzione generatrice non è presente tra gli argomenti del programma del corso di probabilità della mia facoltà,
quindi non ho proprio idea di cosa possa essere. Vedrò di informarmi un pò.
Per quanto riguarda il suggerimento di DajeForte, in poche parole otterrei:
$\sum_{k=1}^(+\infty) q^k + \sum_{k=2}^(+\infty) q^k + \sum_{k=3}^(+\infty) q^k + ...$
Ma il problema è che, dato che $k\in[1,+\infty)$ come si effettua il calcolo completo?
Non è che ti fermi a tre continui e alla fine arrivi.
Hint: scrivilo con due sommatorie
Hint: scrivilo con due sommatorie
Forse vuoi intendere così:
$\sum_{k=1}^(+\infty) \sum_{i=k}^(+\infty) q^i$
$\sum_{k=1}^(+\infty) \sum_{i=k}^(+\infty) q^i$
e gia
quindi ho risolto così:
$\sum_{i=k}^(+\infty) q^i=q^k\sum_{i=0}^(+\infty) q^i$ che è uguale a $q^k/(1-q)$
di conseguenza rimane solo questa sommatoria
$\sum_{k=1}^(+\infty) q^k/(1-q)=1/(1-q)\sum_{k=1}^(+\infty) q^k=1/(1-q)(1/(1-q)-1)=q/(1-q)^2$
Ma siccome prima avevamo posto $1-p=q$ allora il valore atteso è $(1-p)/(p^2)$
corretto?
$\sum_{i=k}^(+\infty) q^i=q^k\sum_{i=0}^(+\infty) q^i$ che è uguale a $q^k/(1-q)$
di conseguenza rimane solo questa sommatoria
$\sum_{k=1}^(+\infty) q^k/(1-q)=1/(1-q)\sum_{k=1}^(+\infty) q^k=1/(1-q)(1/(1-q)-1)=q/(1-q)^2$
Ma siccome prima avevamo posto $1-p=q$ allora il valore atteso è $(1-p)/(p^2)$
corretto?
Mi sembra he ci sia un passaggio sbagliato:
tu hai scritto
$\sum_{k=1}^(+\infty) q^k/(1-q)=1/(1-q)\sum_{k=1}^(+\infty) q^k=1/(1-q)(1/(1-q)-1)=q/(1-q)^2$
ma in realtà è
$\sum_{k=1}^(+\infty) q^k/(1-q)=1/(1-q)\sum_{k=1}^(+\infty) q^k=1/(1-q)(1/(1-q))=1/(1-q)^2$
Ricorda poi che la sommatoria era moltiplicata per $p$ (che avevi portato fuori in quanto non dipende dagli indici su cui stai sommando). Quindi viene
$E(X)=p*1/(1-q)^2=p/p^2=1/p$
che è il valore atteso di una geometrica.
tu hai scritto
$\sum_{k=1}^(+\infty) q^k/(1-q)=1/(1-q)\sum_{k=1}^(+\infty) q^k=1/(1-q)(1/(1-q)-1)=q/(1-q)^2$
ma in realtà è
$\sum_{k=1}^(+\infty) q^k/(1-q)=1/(1-q)\sum_{k=1}^(+\infty) q^k=1/(1-q)(1/(1-q))=1/(1-q)^2$
Ricorda poi che la sommatoria era moltiplicata per $p$ (che avevi portato fuori in quanto non dipende dagli indici su cui stai sommando). Quindi viene
$E(X)=p*1/(1-q)^2=p/p^2=1/p$
che è il valore atteso di una geometrica.
No è giusto quello che scrive Al.
$sum_(k=0)^(+infty)p^k=1/(1-p)$ ($|p|<1$) poi se parte da $k=1$ ci devi togliere $1$.
Quindi se uno prende il risultato di Al e ci va a moltiplicare quello che avanzava dalla prima somma che era ($p/(1-p)$ ottiene $1/p$ che è la media della geometrica che lavora a partire da 1.
$sum_(k=0)^(+infty)p^k=1/(1-p)$ ($|p|<1$) poi se parte da $k=1$ ci devi togliere $1$.
Quindi se uno prende il risultato di Al e ci va a moltiplicare quello che avanzava dalla prima somma che era ($p/(1-p)$ ottiene $1/p$ che è la media della geometrica che lavora a partire da 1.
Chiedo scusa.
grazie per l'accorgimento sulla $p$ portata prima fuori dalla sommatoria, me ne ero totalmente scordato 
Se $k$ partiva da 0 allora era vero ciò che hai detto, sembrano piccolezze queste però contano
"maxsiviero":
Mi sembra he ci sia un passaggio sbagliato:
tu hai scritto
$\sum_{k=1}^(+\infty) q^k/(1-q)=1/(1-q)\sum_{k=1}^(+\infty) q^k=1/(1-q)(1/(1-q)-1)=q/(1-q)^2$
ma in realtà è
$\sum_{k=1}^(+\infty) q^k/(1-q)=1/(1-q)\sum_{k=1}^(+\infty) q^k=1/(1-q)(1/(1-q))=1/(1-q)^2$
Se $k$ partiva da 0 allora era vero ciò che hai detto, sembrano piccolezze queste però contano
"DajeForte":
No è giusto quello che scrive Al.
$sum_(k=0)^(+infty)p^k=1/(1-p)$ ($|p|<1$) poi se parte da $k=1$ ci devi togliere $1$.
Quindi se uno prende il risultato di Al e ci va a moltiplicare quello che avanzava dalla prima somma che era ($p/(1-p)$ ottiene $1/p$ che è la media della geometrica che lavora a partire da 1.
Se è $p$ il parametro della legge geometrica allora la media è $(1-p)/p$ (il risultato delle sommatorie era $(1-p)/p^2$)
Non ti scusare tranquillo, capita di confondersi
@Alxxx: quello che io intendevo era quello che ti rimaneva nella prima sommatoria.
Se la geometrica parte da 1 la sua media è $1/p$.
Se la geometrica parte da 1 la sua media è $1/p$.
@ DajeForte: scusami non ti sto capendo
A quale sommatoria ti riferisci?
E forse ti riferivi a questo termine $p/(1-p)$,che avevo portato fuori dalla sommatoria inizialmente?
Comunque prima mi ero sbagliato, non era solo la $p$ che avevo portato fuori dalla sommatoria.
Vi ringrazio ancora!
"DajeForte":
@Alxxx: quello che io intendevo era quello che ti rimaneva nella prima sommatoria.
A quale sommatoria ti riferisci?
E forse ti riferivi a questo termine $p/(1-p)$,che avevo portato fuori dalla sommatoria inizialmente?
Comunque prima mi ero sbagliato, non era solo la $p$ che avevo portato fuori dalla sommatoria.
Vi ringrazio ancora!
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