Valore atteso Geometrica e somma di due Poisson
Ciao a tutti, ho qualche dubbio riguardante la varianza di una variabile aleatoria Geometrica e la somma di due Poisson.
Allora per quanto riguarda il primo dubbio, la varianza comincio a calcolarla in questo modo:
$ sumiP(Ge(p)=i)=1*P(Ge(p)=1)+2*P(Ge(p)=2)+3*P(Ge(p)=3)+.. $
Ora arriva il problema, non riesco a capire perchè la dimostrazione continua con una somma di questo tipo:
e di conseguenza non riesco a capire il continuo della dimostrazione, cioè il collegamento tra la somma dell'immagine e quanto segue:
$ sum_(iinN_(>=1))P(Ge(p)>=i)=sum_(iinN_(>=1))(1-p)^(i-1)=sum_(kinN)(1-p)^k=1/(1-(1-p))=1/p $
Per quanto riguarda la somma di due Poisson di parametri $ lambda $ e $ mu $ non capisco l'ultimo passaggio, cioè come fa a "scomparire" la sommatoria, cioè:
$ e^(-(lambda+mu))/(i!)*sum_(k=0)^(i)lambda^k*mu^(i-k)( (i), (k) ) =e^(-(lambda+mu))/(i!)*(lambda+mu)^i $
Riporto tutti i passaggi della dimostrazione dall'inizio:
$ sum_(k=0)^(i)(lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)*((mu)^(i-k))/((i-k)!)*e^(-mu)=e^(-(lambda+mu))*sum_(k=0)^(i)(lambda^k*mu^(i-k))/(i!)( (i), (k) )=e^(-(lambda+mu))/(i!)*sum_(k=0)^(i)lambda^k*mu^(i-k)( (i), (k) ) =e^(-(lambda+mu))/(i!)*(lambda+mu)^i $
Allora per quanto riguarda il primo dubbio, la varianza comincio a calcolarla in questo modo:
$ sumiP(Ge(p)=i)=1*P(Ge(p)=1)+2*P(Ge(p)=2)+3*P(Ge(p)=3)+.. $
Ora arriva il problema, non riesco a capire perchè la dimostrazione continua con una somma di questo tipo:
e di conseguenza non riesco a capire il continuo della dimostrazione, cioè il collegamento tra la somma dell'immagine e quanto segue:
$ sum_(iinN_(>=1))P(Ge(p)>=i)=sum_(iinN_(>=1))(1-p)^(i-1)=sum_(kinN)(1-p)^k=1/(1-(1-p))=1/p $
Per quanto riguarda la somma di due Poisson di parametri $ lambda $ e $ mu $ non capisco l'ultimo passaggio, cioè come fa a "scomparire" la sommatoria, cioè:
$ e^(-(lambda+mu))/(i!)*sum_(k=0)^(i)lambda^k*mu^(i-k)( (i), (k) ) =e^(-(lambda+mu))/(i!)*(lambda+mu)^i $
Riporto tutti i passaggi della dimostrazione dall'inizio:
$ sum_(k=0)^(i)(lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)*((mu)^(i-k))/((i-k)!)*e^(-mu)=e^(-(lambda+mu))*sum_(k=0)^(i)(lambda^k*mu^(i-k))/(i!)( (i), (k) )=e^(-(lambda+mu))/(i!)*sum_(k=0)^(i)lambda^k*mu^(i-k)( (i), (k) ) =e^(-(lambda+mu))/(i!)*(lambda+mu)^i $
Risposte
Il primo è semplicemente la somma di una progressione geometrica (di dimostrazione davvero immediata) e comunque di risultato noto. Basta infatti sviluppare i conti della formula da cui sei partito ed in pochi passaggi ti ritrovi a
$S=1/(1-q)$, posto $q=1-p$
Però ti dò una dimostrazione per il calcolo della media molto più intelligente e veloce
$E(X)=sum_(x=1)^(+oo)xq^(x-1)p=psum_(x=1)^(+oo)d/(dq)q^x=p d/(dq)sum_(x=1)^(oo)q^x=p d/(dq) q/(1-q)=p(1-q+q)/(1-q)^2=p/p^2=1/p$
Per calcolare la varianza però ti serve anche $E(X^2)$
$E(X^2)=sum_(x=1)^(oo)x^2q^(x-1)p=sum_(x=1)^(oo)[x(x-1)+x]q^(x-1)p=....$
sviluppi....usi i risultati che ti ho indicato per la somma delle progressioni geometriche e arrivi facilmente al risultato di cui hai bisogno
Il secondo è lo sviluppo della potenza del binomio $(a+b)^n$ (binomio di Newton)
Es: $(a+b)^2=((2),(0))a^2 b^0+((2),(1))a^1 b^1+((2),(2))a^0 b^2$
ecc ecc
ciao
$S=1/(1-q)$, posto $q=1-p$
Però ti dò una dimostrazione per il calcolo della media molto più intelligente e veloce
$E(X)=sum_(x=1)^(+oo)xq^(x-1)p=psum_(x=1)^(+oo)d/(dq)q^x=p d/(dq)sum_(x=1)^(oo)q^x=p d/(dq) q/(1-q)=p(1-q+q)/(1-q)^2=p/p^2=1/p$
Per calcolare la varianza però ti serve anche $E(X^2)$
$E(X^2)=sum_(x=1)^(oo)x^2q^(x-1)p=sum_(x=1)^(oo)[x(x-1)+x]q^(x-1)p=....$
sviluppi....usi i risultati che ti ho indicato per la somma delle progressioni geometriche e arrivi facilmente al risultato di cui hai bisogno
Il secondo è lo sviluppo della potenza del binomio $(a+b)^n$ (binomio di Newton)
Es: $(a+b)^2=((2),(0))a^2 b^0+((2),(1))a^1 b^1+((2),(2))a^0 b^2$
ecc ecc
ciao
Grazie mille per la risposta. Nel primo punto della mia domanda sarebbe stato sbagliato dire semplicemente che devo effettuare una somma di una progressione geometrica di ragione $ q=(1-p) $, cioè devo calcolare una sommatoria del tipo: $ sum_(k = 0)^(+oo) q^k $ dove sicuramente $ |q|<1 $ (essendo q = a 1 meno una probabilità) e quindi essendo appunto $ |q|<1 $ posso applicare direttamente la formula $ 1/(1-q)=1/(1-(1-p))=1/p $
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