Valore atteso e varianza di uno stimatore (teoria)

[BrekDj]

Salve. Come da titolo, non mi è molto chiaro come si trova il valore atteso e la varianza di uno stimatore, c'è qualcuno che potrebbe darmi una mano? Grazie in anticipo

[Lo_zio_Tom]

Uno stimatore è una statistica, ovvero una funzione della n-upla campionaria; ergo, media e varianza si calcolano esattamente come per ogni altra funzione di variabili casuali.

Es: $T=bar (x) $

T è uno stimatore.. .. Se il campione è casuale

$E (T)=1/n n mu= mu $

$V (T)=1/n^2 n sigma ^2=sigma^2/n $


Cerca degli esercizi, prova a risolverli e, se non riesci, posta la tua bozza di soluzione qui che vediamo di chiarire il tutto.

Uno te lo propongo io:

Sia X una va con distribuzione esponenziale, ovvero $f (x)=theta e^(-thetax) $ con $x>=0$ e parametro $theta $ non noto.

Estraiamo un campione casuale di ampiezza n. Lo stimatore di massima verosimiglianza di $theta $ è (potresti anche fare i conti e controllare)

$T=n/(sum_i x_i ) $

Calcolare la media di $T$

A conti fatti esce $E (T)=n/(n-1) theta $

Prova.... Non è difficile

Se vuoi provare anche a calcolare la varianza di T, se no non ho fatto qualche errore di calcolo, viene

$V (T)=n^2/((n-1)^2 (n-2))theta^2$

Ciao

[BrekDj]

i conti fino a trovare lo stimatore me li sono fatti ed esce anche a me $n/(sum_i(X_i))$. l'integrale per il valore atteso come va impostato però?

edit: sarebbe $int_(-oo )^(oo ) vartheta * n/(sum(X_i)) dvartheta$ ?

[Lo_zio_Tom]

$E (T)=n int_(0 )^(+oo)1/y theta ^n/(Gamma (n))y^(n-1)e^(-thetay)dy $

Avendo posto $y= Sigma x $

Ciò in quanto $y=Sigmax $ si distribuisce come una variabile gamma (somma di esponenziali iid)
.
L'integrale si risolve facilmente in un passaggio riconducendosi al nucleo di una distribuzione gamma (basta raccogliere $theta/(n-1) $ fuori dall'integrale)

[BrekDj]

$Gamma(n)$ cosa sarebbe?
anche le variabili gamma non le conosco, c'è un modo di impostarlo "normale"?

[Lo_zio_Tom]

È la funzione gamma di Eulero.

$Gamma (n)=int_(0)^(+oo)x^(n-1)e^(-x)dx $

$Gamma (n)=(n-1)Gamma (n-1)=(n-1)!$

[Lo_zio_Tom]

Se non le conosci lascia perdere. Cerca degli esercizi alla tua portata e vediamo che problemi riscontri nel risolverli

[BrekDj]

proviamo con questo esercizio che è capitato ad un esame, forse è diverso.
Sia $X_1, ..., X_n$ un campione casuale estratto da una popolazione normale N(µ, 3). Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza per µ; calcolarne il valore atteso e la varianza.

Per lo s.m.v. della media ho scritto direttamente $bar(mu)=1/n sum_i(X_i)$, i calcoli erano sul libro. Misono bloccato sul valore atteso e la varianza di $bar(mu)$.

[Lo_zio_Tom]

Se leggi bene il mio primo intervento ho fatto il medesimo esempio....senza specificare la distribuzione sorgente...quindi anche più in generale

[BrekDj]

sono formule che valgono sempre e comunque si abbia uno stimatore e un campione casuale?

[Lo_zio_Tom]

Piano con le generalizzazioni! L'argomento va trattato con le dovute cautele. Per calcolare media e varianza di uno stimatore o conosci la distribuzione di tale stimatore oppure conosci la distribuzione di una funzione dello stimatore che ti permetta di impostare il calcolo di media e varianza. Nel caso lo stimatore sia la media campionaria ovviamente le cose si semplificano molto e trovi le formule che ti ho indicato ma che dovresti riuscire a dimostrare anche tu. Ad ogni modo ti consiglio una bella studiata sull'argomento perché è davvero di grande importanza

[BrekDj]

se ti è possibile, mi linkeresti qualcosa a riguardo?