Valore atteso distribuzione uniforme

[enrico96l]

La corrente I che attraversa un diodo a semiconduttore è determinata dall’equazione di Shockley\(\displaystyle I = I_0(\) $ e^(aV) $ \(\displaystyle - 1) \), dove \(\displaystyle V \) è la tensione ai capi del diodo, \(\displaystyle I_0 \) la corrente di inversione ed \(\displaystyle a \) è una costante. Si trovi \(\displaystyle E(I) \) quando \(\displaystyle V \) è uniforme sull’intervallo \(\displaystyle (1,3) \).

Allora, riscrivendo \(\displaystyle E(I) = I_0(E( \) $e^(aV)$ \(\displaystyle ) - 1) \) ho il problema di calcolare \(\displaystyle E(\)$ e^(aV) $ \(\displaystyle)\).

Forse mi serve applicare qualche proprietà di cui non sono a conoscenca?

[Lo_zio_Tom]

"grad90": ho il problema di calcolare \(\displaystyle E(\)$ e^(aV) $ \(\displaystyle)\).

easy problem, easy solution.


basta usare le proprietà del valore atteso

Se $Y=g(X)$

$E[Y]=int_(-oo)^(+oo)yf_(Y)(y)dy$ ma anche

$E[Y]=int_(-oo)^(+oo)g(x)f_(X)(x)dx$

Come puoi anche notare dai Testi Sacri:


ovviamente in questo caso la seconda soluzione è immediata, quindi ti faccio vedere la prima strada (supponiamo a>0)

$Y=e^(aX) rarr X=1/a logy $

$f_(Y)(y)=1/2 1/(ay)I_((e^a; e^(3a)))(y)$

$E[Y]=int_(e^a)^(e^(3a))y 1/(2ay)dy=1/(2a)[e^(3a)-e^a]=e^a/(2a)[e^(2a)-1]$

[enrico96l]

In effetti questi due modi di calcolare il valore atteso li avevo studiati nella teoria, ma ancora non applicati in nessun caso.
Ti ringrazio della risposta, applicando il primo modo ho ottenuto immediatamente il risultato numerico riportato sul libro.