Valore atteso di variabili geometriche
Buon pomeriggio.
Problemino di probabilità: Siao $T_1$ e $T_2$ due variabili aleatorie indipendenti e geometriche di parametro p. Determinare la legge della v.a. $Z=T_1 - T_2$, il suo valore atteso e la sua varianza.
Dunque. Innanzitutto, le singole leggi sono:
$P(T_1 = k) = p q ^(k-1)$ dove q = 1-p
$P(T_2=j) = p q^(j-1)$
e cioè mi permettono di calcolare la probabilità che il primo successo avvenga rispettivamente all'istante k e j.
$Z=T_1 - T_2$ calcola la differenza tra l'istante del primo successo di $T_1$ meno quello di $T_2$, quindi in particolare potrò calcolare la probabilità che la differenza valga un certo valore t (che può peraltro essere negativo, mi pare...). Giusto?
Cioè, se il primo successo di $T_1$ avviene al 2 lancio, e il primo di $T_2$ al 4, Z= -2.
Quindi Z: $\Omega rarr {...,-1, 0, 1,...}$
Dunque, se l'istante del primo successo di $T_1$ è k, allora, perchè Z valga t, l'istante del primo successo di $T_2$ deve essere k - t.
Quindi mi verrebbe da pensare che
$P(Z=t) = P(T_1=k) P(T_2=k-t ) = p^2 q^(2k - t - 2)$ (ok, ora ridete pure per l'enormità delle scemenze che ho scritto)
Quanto al valore atteso, a me viene tanto l'idea che sia 0. Cioè, $T_1$ e $T_2$ sno variabili geometriche entrambe con probabilità di successo p; e poichè il valore atteso di queste variabili è $1/p$, e poichè il v.a. è lineare, mi verrebbe da dire che
$E(T_1 - T_2) = E(T_1) - E(T_2) = 0.$
Follia pura?
Con la varianza non mi ci metto nemmeno...
Mi potete aiutare?
Grazie mille (e scusatemi per le eventuali e assai probabili castronerie scritte)
Problemino di probabilità: Siao $T_1$ e $T_2$ due variabili aleatorie indipendenti e geometriche di parametro p. Determinare la legge della v.a. $Z=T_1 - T_2$, il suo valore atteso e la sua varianza.
Dunque. Innanzitutto, le singole leggi sono:
$P(T_1 = k) = p q ^(k-1)$ dove q = 1-p
$P(T_2=j) = p q^(j-1)$
e cioè mi permettono di calcolare la probabilità che il primo successo avvenga rispettivamente all'istante k e j.
$Z=T_1 - T_2$ calcola la differenza tra l'istante del primo successo di $T_1$ meno quello di $T_2$, quindi in particolare potrò calcolare la probabilità che la differenza valga un certo valore t (che può peraltro essere negativo, mi pare...). Giusto?
Cioè, se il primo successo di $T_1$ avviene al 2 lancio, e il primo di $T_2$ al 4, Z= -2.
Quindi Z: $\Omega rarr {...,-1, 0, 1,...}$
Dunque, se l'istante del primo successo di $T_1$ è k, allora, perchè Z valga t, l'istante del primo successo di $T_2$ deve essere k - t.
Quindi mi verrebbe da pensare che
$P(Z=t) = P(T_1=k) P(T_2=k-t ) = p^2 q^(2k - t - 2)$ (ok, ora ridete pure per l'enormità delle scemenze che ho scritto)
Quanto al valore atteso, a me viene tanto l'idea che sia 0. Cioè, $T_1$ e $T_2$ sno variabili geometriche entrambe con probabilità di successo p; e poichè il valore atteso di queste variabili è $1/p$, e poichè il v.a. è lineare, mi verrebbe da dire che
$E(T_1 - T_2) = E(T_1) - E(T_2) = 0.$
Follia pura?
Con la varianza non mi ci metto nemmeno...
Mi potete aiutare?
Grazie mille (e scusatemi per le eventuali e assai probabili castronerie scritte)
Risposte
"lewis":
$P(Z=t) = P(T_1=k) P(T_2=k-t ) = p^2 q^(2k - t - 2)$
Direi che non hai tenuto conto di tutti i possibili valori che può assumere $k$, quindi dovrebbe essere:
$P(Z=t) =\sum_{k=t+1}^{\infty} p^2 q^(2k - t - 2)=...$
EDIT: corretto errore nell'indice della sommatoria
"lewis":
$E(T_1 - T_2) = E(T_1) - E(T_2) = 0$
Sono d'accordo. Sulla varianza puoi fare dei passaggi analoghi: $Var(T_1-T_2)=...$ (tieni conto dell'indipendenza delle variabili)
"cenzo":
[quote="lewis"]$P(Z=t) = P(T_1=k) P(T_2=k-t ) = p^2 q^(2k - t - 2)$
Direi che non hai tenuto conto di tutti i possibili valori che può assumere $k$, quindi dovrebbe essere:
$P(Z=t) =\sum_{k=t+1}^{\infty} p^2 q^(2k - t - 2)=...$
EDIT: corretto errore nell'indice della sommatoria
[/quote]
Sì, in effetti la sommatoria mi era rimasta sul foglio...(però avevo sbagliato l'indice)
Ma quindi fin qui è giusto? Pazzesco
"cenzo":
[quote="lewis"]$E(T_1 - T_2) = E(T_1) - E(T_2) = 0$
Sono d'accordo. Sulla varianza puoi fare dei passaggi analoghi: $Var(T_1-T_2)=...$ (tieni conto dell'indipendenza delle variabili)[/quote]
Il problema è che ho quache problema con varianza e covarianza...
Comunque, dato che le variabili sono indipendenti,
$var (T_1 - T_2) = varT_1 + varT_2$ cioè la covarianza è pari a 0.
In generale, data una variabile X mi lascia un po' perplessa il calcolo di $EX^2$, non sono mai sicura che sia giusta...
Però, vabbè, io so che la varianza di variabili aleatorie geometriche è esattamente $Var(X) = (1-p)/p^2$.
Le due variabili hanno la stessa probabilità p, quindi
$var (Z) = 2 VarT_1 = 2(1-p)/p^2$
E' corretto?
Grazie mille per l'aiuto, sei gentilissimo
"lewis":
[quote="cenzo"][quote="lewis"]$P(Z=t) = P(T_1=k) P(T_2=k-t ) = p^2 q^(2k - t - 2)$
Direi che non hai tenuto conto di tutti i possibili valori che può assumere $k$, quindi dovrebbe essere:
$P(Z=t) =\sum_{k=t+1}^{\infty} p^2 q^(2k - t - 2)=...$
EDIT: corretto errore nell'indice della sommatoria
[/quote]
Sì, in effetti la sommatoria mi era rimasta sul foglio...(però avevo sbagliato l'indice)
Ma quindi fin qui è giusto? Pazzesco
[/quote]Si è giusto, però occorre una precisazione.
Dato che la sommatoria parte da $k=t+1$ (altrimenti l'altro indice esce fuori dal supporto), occorre poi verificare che questo stesso indice non esca dal supporto, quindi dev'essere $k=t+1>=1$, cioè $t>=0$.
In pratica, quella $P(Z=t)$ che ricaviamo vale nel solo caso $t>=0$
(a proposito, sviluppando la sommatoria e tenendo conto della serie geometrica, si perviene ad un'espressione molto semplice...).
Nel caso $t<0$, secondo me basta tenere conto della simmetria del problema, per cui $P(Z=t)=P(Z=-t)$
Per quanto riguarda la varianza è tutto corretto
"lewis":
Grazie mille per l'aiuto, sei gentilissimo
Prego, ciao
Ok, penso di aver capito.
Grazie mille, buona serata.
Ah, una cosa: ho provato a sistemare quella formula...ma non riesco a scriverla in una forma più "carina": anche portando fuori $q^(-t-2)$ la serie geometrica mi rimane comunque di parametro $q^2k$, non mi sembra di conoscerne la somma.
Grazie mille, buona serata.
Ah, una cosa: ho provato a sistemare quella formula...ma non riesco a scriverla in una forma più "carina": anche portando fuori $q^(-t-2)$ la serie geometrica mi rimane comunque di parametro $q^2k$, non mi sembra di conoscerne la somma.
OK, ecco un suggerimento:
$P(Z=t) =\sum_{k=t+1}^{\infty} p^2 q^(2k - t - 2)=p^2/q^{t+2}*\sum_{k=t+1}^{\infty}(q^2)^k=p^2/q^{t+2}*[\sum_{k=0}^{\infty}(q^2)^k-\sum_{k=0}^{t}(q^2)^k]$
ora sfrutta le note somme della serie geometrica...
Metto la mia soluzione in spoiler, in modo che puoi confrontare il tuo risultato
Ciao.
$P(Z=t) =\sum_{k=t+1}^{\infty} p^2 q^(2k - t - 2)=p^2/q^{t+2}*\sum_{k=t+1}^{\infty}(q^2)^k=p^2/q^{t+2}*[\sum_{k=0}^{\infty}(q^2)^k-\sum_{k=0}^{t}(q^2)^k]$
ora sfrutta le note somme della serie geometrica...
Metto la mia soluzione in spoiler, in modo che puoi confrontare il tuo risultato
Ciao.
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