Valore atteso di una distribuzione casuale
Devo calcolare il valore atteso di una variabile casuale così definita:
$f(x) = (ke^(-kx))/(1-e^(-k))$, definita per $0
Trattandosi di una variabile casuale esponenziale è corretto moltiplicare il valore atteso di una esponenziale "standard" cioè definita come: $f(x) = (ke^(-kx))$, i.e. $1/k$ per la costante che compare al denominatore oppure devo farmi tutto il lunghissimo integrale per parti di $f(x)*x$ ?
grazie
$f(x) = (ke^(-kx))/(1-e^(-k))$, definita per $0
Trattandosi di una variabile casuale esponenziale è corretto moltiplicare il valore atteso di una esponenziale "standard" cioè definita come: $f(x) = (ke^(-kx))$, i.e. $1/k$ per la costante che compare al denominatore oppure devo farmi tutto il lunghissimo integrale per parti di $f(x)*x$ ?
grazie
Risposte
attento che nella "esponenziale standard" $x$ va da $0$ a $+ \infty$, inoltre sai per certo che $k>0$...
quindi sì, per me ti devi fare l'integrale!
quindi sì, per me ti devi fare l'integrale!
Nel fare l'integrale posso integrare semplicemente $ke^(-kx)$ e poi una volta ottenuto il risultato moltiplicarlo per $(1)/(1-e^(-k))$? dopo tutto $E(c*X) = cE(X)$, con c costante ovviamente
p.s: $k>0$ anche in questa, mi sono dimenticato di scriverlo
p.s: $k>0$ anche in questa, mi sono dimenticato di scriverlo
sì certo, con gli estremi $0$ e $1$ però...
si. ora ci provo, prevedo disastri ! 
grazie itpareid!
grazie itpareid!
Ho provato a fare l'integrale e mi risulta:
$E(X) = \(-e^(-k)*k-e^(-k)+1)/(k*(1-e^-(k))$
Mi sembra un valore abbastanza improbabile.. solo che non riesco a riconoscere la funzione assegnata tra le variabili che conosco e quindi non ho modo di controllare se il risultato sia plausibile o meno !
$E(X) = \(-e^(-k)*k-e^(-k)+1)/(k*(1-e^-(k))$
Mi sembra un valore abbastanza improbabile.. solo che non riesco a riconoscere la funzione assegnata tra le variabili che conosco e quindi non ho modo di controllare se il risultato sia plausibile o meno !
se posti tutti i passaggi forse qualcuno ci darà un occhio
Inizio calcolando l'integrale indefinito:
$\inte^(-kx)*x = -(1/k)e^(-kx)*x - \int-(1/k)e^(-kx) = - (e^(-kx)*x)/k + 1/k \inte^(-kx)=$
$-(e^(-kx)*x)/k - (e^(-kx)/k^2)$
Calcolando i valori i 0 e 1 e sottraendo per trovare l'integrale definito si ottiene:
$(-e^-k*k-e^-k-1)/(k^2)$
A questo punto dobbiamo moltiplicare per la costante che avevamo trascurato all'inizio, cioè $((k)/(1-e^-k)$, ottendo infine:
$(-e^-k*k-e^-k-1)/(k*(1-e^-k))$
$\inte^(-kx)*x = -(1/k)e^(-kx)*x - \int-(1/k)e^(-kx) = - (e^(-kx)*x)/k + 1/k \inte^(-kx)=$
$-(e^(-kx)*x)/k - (e^(-kx)/k^2)$
Calcolando i valori i 0 e 1 e sottraendo per trovare l'integrale definito si ottiene:
$(-e^-k*k-e^-k-1)/(k^2)$
A questo punto dobbiamo moltiplicare per la costante che avevamo trascurato all'inizio, cioè $((k)/(1-e^-k)$, ottendo infine:
$(-e^-k*k-e^-k-1)/(k*(1-e^-k))$
"Evisu86":
Calcolando i valori i 0 e 1 e sottraendo per trovare l'integrale definito si ottiene:
$(-e^-k*k-e^-k-1)/(k^2)$
Credo che hai fatto un errore quando hai sottratto il valore della primitiva calcolato in $x=0$
A me viene $(-e^-k*k-e^-k+1)/(k^2)$
"cenzo":
[quote="Evisu86"]Calcolando i valori i 0 e 1 e sottraendo per trovare l'integrale definito si ottiene:
$(-e^-k*k-e^-k-1)/(k^2)$
Credo che hai fatto un errore quando hai sottratto il valore della primitiva calcolato in $x=0$
A me viene $(-e^-k*k-e^-k+1)/(k^2)$[/quote]
hai ragione ! grazie mille
La seconda parte dell'esercizio mi chiede di calcolare la funzione caratteristica $\phi(t)$. Io ho fatto così:
$\phi(t) = k/(1-e^-k)\int_(0)^(1)e^(itx)e^(-kx) =$
$k/(1-e^-k)*1/(-k+it)*[e^(-kx)*e^(itx)]$, in cui il termine tra parentesi quadre va valutato tra 0 e 1.
Il risultato è quindi $k/(1-e^-k)*1/(-k+it)*(e^(-k+it)-1)$
E' corretto ?
Ho qualche dubbio in più sulla terza parte dell'esercizio.
Consideriamo $X_i, i =1...,n$ un campione di variabili casuali IID secondo la legge di densità indicata sopra.
Viene chiesto di calcolare la funzione caratteristica di $\bar X_n = 1/n \sumX_i$
Io ho studiato che la funzione caratteristica della somma di n variabili casuali IID è uguale alla potenza ennesima della funzione caratteristica delle singole variabili.
Non capisco quindi se la risposta all'esercizio è semplicemente $1/n * [\phi(t)]^n$, dove $\phi(t)$ è la funzione caratteristica che ho calcolato prima.
Il dubbio mi sorge in quanto non mi viene richiesta la funzione caratteristica della semplice somma, ma tale funzione moltiplicata per $1/n$, cioè una sorta di media.
Grazie
$\phi(t) = k/(1-e^-k)\int_(0)^(1)e^(itx)e^(-kx) =$
$k/(1-e^-k)*1/(-k+it)*[e^(-kx)*e^(itx)]$, in cui il termine tra parentesi quadre va valutato tra 0 e 1.
Il risultato è quindi $k/(1-e^-k)*1/(-k+it)*(e^(-k+it)-1)$
E' corretto ?
Ho qualche dubbio in più sulla terza parte dell'esercizio.
Consideriamo $X_i, i =1...,n$ un campione di variabili casuali IID secondo la legge di densità indicata sopra.
Viene chiesto di calcolare la funzione caratteristica di $\bar X_n = 1/n \sumX_i$
Io ho studiato che la funzione caratteristica della somma di n variabili casuali IID è uguale alla potenza ennesima della funzione caratteristica delle singole variabili.
Non capisco quindi se la risposta all'esercizio è semplicemente $1/n * [\phi(t)]^n$, dove $\phi(t)$ è la funzione caratteristica che ho calcolato prima.
Il dubbio mi sorge in quanto non mi viene richiesta la funzione caratteristica della semplice somma, ma tale funzione moltiplicata per $1/n$, cioè una sorta di media.
Grazie
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