Valore atteso di diverse strategie a confronto
Ciao a tutti, non riesco a venire a capo di un problema.
Sto cercando di studiare il valore atteso del tempo necessario per raggiungere la vetta di un grattacielo partendo dal piano terra. Ho due possibilità:
A. Usare le scale
B. Aspettare l'ascensore, mezzo che mi porterebbe al piano [tex]$n$[/tex] molto più velocemente.
Notare che l'ascensore potrei prenderlo ad ogni piano [tex]$i \not= n$[/tex], dal piano terra [tex]$i=0$[/tex] fino al penultimo piano [tex]$i=n$[/tex]. Per ogni piano, indico con [tex]$s_i$[/tex] il tempo necessario a salire i piani residui con le scale, con [tex]$r_i$[/tex] il tempo necessario a farli in ascensore dopo esservi salito (quindi esclusa l'attesa).
Le v.c. [tex]$X_i$[/tex] (le cui pdf sono [tex]$f_{X_i}( )$[/tex]) mi rappresentano il tempo intercorrente tra il mio arrivo al piano [tex]$i$[/tex]-simo e l'arrivo dell'ascensore. Io posso decidere di aspettare [tex]$a_i$[/tex] minuti ad ogni piano intermedio. Dopo aver aspettato $a_i$ tempo, se riesco a prendere l'ascensore allora proseguo in ascensore fino in cima, in caso contrario continuo la mia avventura sulle scale.
Se non avessi piani intermedi in cui poter prendere l'ascensore, ma dovessi decidere il da farsi al piano terra senza poter ripetere la decisione su un altro piano, la questione sarebbe abbastanza chiara.
Chiamiamo questo caso: scenario semplificato
[tex]$ E[\text{tempo di salita}] = \int_0^{a_0}(r_0+u) f_{X_0}(u)du + \Biggl( 1 - \int_0^{a_0}f_{X_0}(u)du \Biggr) (s_0 + a_0) $[/tex]
Il mio problema è il seguente:
Ho bisogno di capire se una strategia mista (ovvero faccio un po' di scale e poi aspetto l'ascensore a qualche piano [tex]$i$[/tex]-simo) può essere vantaggiosa o se il valore atteso di questo approccio è sempre dominato da quello calcolato nello scenario semplificato. In questo caso faciliterei di molto il problema
Avevo provato a definire il valore atteso di un'istanza della strategia mista in questo modo:
[tex]$ E[\text{tempo di salita (mista)}] = $[/tex]
[tex]$= \int_0^{a_0}(r_0+u) f_{X_0}(u)du + \Biggl( 1 - \int_0^{a_0}f_{X_0}(u)du \Biggr) \Biggl((s_0 - s_i) + a_0 + E[\text{decisione ripetuta al piano i}]\Biggr) $[/tex]
e poi di studiare se, e quando:
[tex]$ E[\text{tempo di salita}] \leq E[\text{tempo di salita (mista)}] $[/tex]
nella speranza che la relazione fosse sempre verificata.
Ma non sono molto convinto. Non sono sicuro che sia formalmente corretto. In più, se sviluppassi la disequazione otterrei:
[tex]$ s_i \leq E[\text{decisione ripetuta al piano i}]$[/tex]
Ovvero una strategia mista non ha senso se il valore atteso della tempo di salita, valutando la scelta al piano [tex]$i$[/tex], è superiore al tempo necessario a completare la salita a piedi.
...mi sembra troppo strano. Di fatto questo tipo di risultato demanda la convenienza di una strategia mista esclusivamente a quanto succede dal piano [tex]$i$[/tex]-simo in su, ignorando quanto successo prima.
Credo di aver sbagliato qualcosa, già, ma cosa?
Grazie in anticipo.
Sto cercando di studiare il valore atteso del tempo necessario per raggiungere la vetta di un grattacielo partendo dal piano terra. Ho due possibilità:
A. Usare le scale
B. Aspettare l'ascensore, mezzo che mi porterebbe al piano [tex]$n$[/tex] molto più velocemente.
Notare che l'ascensore potrei prenderlo ad ogni piano [tex]$i \not= n$[/tex], dal piano terra [tex]$i=0$[/tex] fino al penultimo piano [tex]$i=n$[/tex]. Per ogni piano, indico con [tex]$s_i$[/tex] il tempo necessario a salire i piani residui con le scale, con [tex]$r_i$[/tex] il tempo necessario a farli in ascensore dopo esservi salito (quindi esclusa l'attesa).
Le v.c. [tex]$X_i$[/tex] (le cui pdf sono [tex]$f_{X_i}( )$[/tex]) mi rappresentano il tempo intercorrente tra il mio arrivo al piano [tex]$i$[/tex]-simo e l'arrivo dell'ascensore. Io posso decidere di aspettare [tex]$a_i$[/tex] minuti ad ogni piano intermedio. Dopo aver aspettato $a_i$ tempo, se riesco a prendere l'ascensore allora proseguo in ascensore fino in cima, in caso contrario continuo la mia avventura sulle scale.
Se non avessi piani intermedi in cui poter prendere l'ascensore, ma dovessi decidere il da farsi al piano terra senza poter ripetere la decisione su un altro piano, la questione sarebbe abbastanza chiara.
Chiamiamo questo caso: scenario semplificato
[tex]$ E[\text{tempo di salita}] = \int_0^{a_0}(r_0+u) f_{X_0}(u)du + \Biggl( 1 - \int_0^{a_0}f_{X_0}(u)du \Biggr) (s_0 + a_0) $[/tex]
Il mio problema è il seguente:
Ho bisogno di capire se una strategia mista (ovvero faccio un po' di scale e poi aspetto l'ascensore a qualche piano [tex]$i$[/tex]-simo) può essere vantaggiosa o se il valore atteso di questo approccio è sempre dominato da quello calcolato nello scenario semplificato. In questo caso faciliterei di molto il problema
Avevo provato a definire il valore atteso di un'istanza della strategia mista in questo modo:
[tex]$ E[\text{tempo di salita (mista)}] = $[/tex]
[tex]$= \int_0^{a_0}(r_0+u) f_{X_0}(u)du + \Biggl( 1 - \int_0^{a_0}f_{X_0}(u)du \Biggr) \Biggl((s_0 - s_i) + a_0 + E[\text{decisione ripetuta al piano i}]\Biggr) $[/tex]
e poi di studiare se, e quando:
[tex]$ E[\text{tempo di salita}] \leq E[\text{tempo di salita (mista)}] $[/tex]
nella speranza che la relazione fosse sempre verificata.
Ma non sono molto convinto. Non sono sicuro che sia formalmente corretto. In più, se sviluppassi la disequazione otterrei:
[tex]$ s_i \leq E[\text{decisione ripetuta al piano i}]$[/tex]
Ovvero una strategia mista non ha senso se il valore atteso della tempo di salita, valutando la scelta al piano [tex]$i$[/tex], è superiore al tempo necessario a completare la salita a piedi.
...mi sembra troppo strano. Di fatto questo tipo di risultato demanda la convenienza di una strategia mista esclusivamente a quanto succede dal piano [tex]$i$[/tex]-simo in su, ignorando quanto successo prima.
Credo di aver sbagliato qualcosa, già, ma cosa?
Grazie in anticipo.
Risposte
Mini OT
hai considerato di modellare il tuo problema come una catena di Markov a stati discreti?
hai considerato di modellare il tuo problema come una catena di Markov a stati discreti?
Ciao, sinceramente no, ma più che altro perché sono decisamente a digiuno sull'argomento...può essere una via comoda?
Un'alternativa a cui stavo pensando sarebbe quella di formalizzare correttamente il valore atteso del caso completo. Il problema è che devo farlo in maniera tale da tenere conto dei comportamenti più strani (potenzialmente ottimali): possiamo aspettare un po’ al piano terra e, se non arriva un ascensore, salire per le scale al piano successivo, aspettare ancora un po’ al piano e, se non riusciamo ancora a prendere un ascensore, proseguire ancora sulle scale, eccetera. Così via, fino a che non prendiamo un ascensore o non arriviamo in cima.
Non riesco a trovare un modo semplice per descrivere questo caso.
Un'alternativa a cui stavo pensando sarebbe quella di formalizzare correttamente il valore atteso del caso completo. Il problema è che devo farlo in maniera tale da tenere conto dei comportamenti più strani (potenzialmente ottimali): possiamo aspettare un po’ al piano terra e, se non arriva un ascensore, salire per le scale al piano successivo, aspettare ancora un po’ al piano e, se non riusciamo ancora a prendere un ascensore, proseguire ancora sulle scale, eccetera. Così via, fino a che non prendiamo un ascensore o non arriviamo in cima.
Non riesco a trovare un modo semplice per descrivere questo caso.
"ReggaetonDj":
Ciao, sinceramente no, ma più che altro perché sono decisamente a digiuno sull'argomento...può essere una via comoda?
Un'alternativa a cui stavo pensando sarebbe quella di formalizzare correttamente il valore atteso del caso completo. Il problema è che devo farlo in maniera tale da tenere conto dei comportamenti più strani (potenzialmente ottimali): possiamo aspettare un po’ al piano terra e, se non arriva un ascensore, salire per le scale al piano successivo, aspettare ancora un po’ al piano e, se non riusciamo ancora a prendere un ascensore, proseguire ancora sulle scale, eccetera. Così via, fino a che non prendiamo un ascensore o non arriviamo in cima.
Non riesco a trovare un modo semplice per descrivere questo caso.
Forse non ho capito il problema, ma se tu vuoi andare al piano superiore, dal momento che non sai il passato dell'ascensore, mi verrebbe da pensare che hai la stessa situazione che tu hai al piano zero, solo su un edificio di n-1 piani. Non so se questa osservazione possa aiutarti in qualche modo...
In sostanza ogni volta che decidi di salire a piedi devi metterci il tempo per salire e poi quando arrivi al piano successivo è come se ricominci da capo, solo con un piano in meno (ammettendo che non sai il passato dell'ascensore, quindi non sai dove è posizionata all'interno del palazzo... ma questo è verosimile, se hai scelto di andare a piedi è perchè non è arrivata l'ascensore e quindi l'hai abbandonata al suo destino).
Ciao fu^2,
si esatto. Questo accade nel momento in cui tu hai raggiunto il piano superiore. Però dovrei essere in grado di valutare la scelta al piano precedente.
Non so se sono riuscito a spiegarmi
si esatto. Questo accade nel momento in cui tu hai raggiunto il piano superiore. Però dovrei essere in grado di valutare la scelta al piano precedente.
Non so se sono riuscito a spiegarmi
"fu^2":
... mi verrebbe da pensare che hai la stessa situazione che tu hai al piano zero, solo su un edificio di n-1 piani.
"Uhm". Potrebbe andare, ma non credo che modelli il problema esattamente. In generale, se sei a metà strada, l'ascensore sarà al massimo $n/2-1$ piani distante dal tuo piano, situazione che si ribalta se sei ai primi (od ultimi) piani. Pertanto le varie $a_i$ dovrebbero tenere conto di questo fatto. No?
Sì, diciamo che se al piano terra decido di salire dovrei capire se mi conviene tirare dritto senza fermarmi o se avrei convenienza a fermarmi [tex]$a_i$[/tex] tempo ai piani intermedi. E questo dovrei saperlo sin dall'inizio. Sennò tanto vale aspettare l'ascensore al piano terra!
...non so, potrebbe aver senso dire che faccio le scale per raggiungere il piano superiore solo se il valore atteso del tempo di attesa più il tempo di salita in ascensore è minore del tempo di salita a piedi?
Non riesco a venirne a capo...
Non riesco a venirne a capo...
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