Valore atteso delle potenze della normale standard

[thedarkhero]

Sia $X~N(0,1)$ una variabile aleatoria avente distribuzione normale standard.
So che se $n\in NN$ è dispari allora il valore atteso di $X^n$ è $0$, ma si può dire qualcosa sul valore atteso di $X^n$ nel caso di $n$ pari?

[Lo_zio_Tom]

Se devi calcolare i momenti, usa la Funzione Generatrice dei Momenti (MGF)

$M_X(t)=e^(t^2/2)=sum_(n=0)^(oo)(t^2/2)^n/(n!)$

$sum_(n=0)^(oo)(t^2/2)^n/(n!)=sum_(n=0)^(oo)t^(2n)/(2^n*n!)=sum_(n=0)^(oo)((2n)!t^(2n))/((2n)!(2^n*n!))$

Ora, sapendo che

$E[X^n]=d^n/(dt^n)M_X(t)]_(t=0)$

abbiamo subito, con $N$ intero maggiore di zero:[nota]e dalla stessa formula anche $E[X^(2n+1)]=0$[/nota]

$E[X^(2n)]=((2n)!)/(2^n*n!)$

[markowitz]

Le risposte di tommik sono sempre fin troppo esaustive
@tommik non so che lavoro fai ... ma dovevi fare il Prof.

@thedarkhero
qualcosa potevi dire anche senza la risposta sopra ... che pochi troverebbero in breve tempo. E' noto che il momento quarto centrato, e la curtosi, di una normale standard è pari a $3$, è da li che conviene iniziare a ragionare. Qui trovi la risposta alla tua domanda
https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_di ... on#Moments
che anzi non è limitata al caso standardizzato. Ponendo $sigma=1$ ti ritrovi facilmente con i valori della formula di tommik.

[thedarkhero]

Grazie mille ad entrambi!

In effetti l'approccio di @tommik sembra più generale, in quanto si potrebbe adottare per una qualsiasi distribuzione (di cui si conosce la MGF)...ma anche perchè non richiede di conoscere ulteriori proprietà specifiche della normale