Valore atteso del rapporto

[mobley]

Ho una v. doppia continua con densità $f(x,y):=\lambda^2e^(-\lambda x), 0 1) $X~ \Gamma(2;\lambda)$;
2) $Y~ Exp(\lambda)$;
3) $X-Y~ Exp(\lambda)$.
Devo calcolare $\mathbb(E)[Y/X]$. Ho pensato di stabilire prima la distribuzione del rapporto, che dal metodo di trasformazione risulta $1-e^(\lambda uv)rArr X/Y~ Exp(\lambda)$. Quindi per definizione il valore atteso di una Esponenziale è $1/\lambda$. Tuttavia la soluzione è $1/2$. Dove ho sbagliato nel ragionamento?

[Lo_zio_Tom]

"mobley":
Devo calcolare $\mathbb(E)[Y/X]$.

Essendo $0
con semplici calcoli trovi che la distribuzione di $Y/X$ è uniforme su $(0;1)$..da cui la media uguale a $1/2$

1) ok
2) ok
3) non l'ho controllato perché non serve per rispondere alla domanda posta.

[mobley]

"tommik":3) non l'ho controllato perché non serve per rispondere alla domanda posta.

Il punto 3) era riferito alla distribuzione di $X-Y$: un punto dell'esercizio chiedeva infatti di trovare la distribuzione della differenza, che tramite jacobiano risulta una Esponenziale di parametro $\lambda$.

"tommik":con semplici calcoli trovi che la distribuzione di $Y/X$ è uniforme su $(0;1)$

Semplici calcoli dici? E' un'ora che mi sto guardando e riguardando le proprietà dell'attesa condizionata ma non riesco a venirne a capo… L'esercizio chiedeva anche di determinare le distribuzioni delle due condizionate, che sono rispettivamente $X|Y~ Exp(\lambda)$ e $Y|X~ U(0,x)$, non so se possano servire allo scopo.

[Lo_zio_Tom]

Non avendo il testo completo dell'esercizio non mi sono nemmeo posto il problema se vi fossero strade alternative. Io ho semplicemente calcolato la distribuzione di $Y/X$ e si fa praticamente a mente (dopo aver capito che $z=y/x in (0;1)$ e dopo aver fatto il disegno, ovviamente)


$F_(Y/X)(z)=int_0^(oo)lambda^2e^(-lambdax)dx int_0^(zx)dy=z int_0^(oo)lambda^2xe^(-lambdax)dx=z$

[mobley]

Era banale, non ho pensato ad usare la definizione di ripartizione