Valore atteso condizionato

[pat871]

Ho un dubbio particolare sul valore atteso condizionato.
Sia come al solito $(Omega, F, P)$ il nostro spazio di probabilità, e definiamo una catena di $sigma$-algebre $(F_n)_{n in NN_0}$ tali che $F_n subset F$ $forall n in NN_0$.
Se abbiamo una sequenza di variabili aleatorie $(Z_n)_(n in NN_0)$ i.i.d. $N(0,1)$ distribuite tali che esse sono anche indipendenti da $F_n$ $forall n in NN_0$, allora come mai segue che:
$E[ Z_n | F_(n-1)] = 0$, $P$-a.s e
$E[ Z_n^2 | F_(n-1)] = 1$, $P$-a.s. ?


Vado nei dettagli:
Abbiamo un modello di mercato chiamato GARCH(1,1). Abbiamo le nostre $Z_n$ definite come sopra, e definiamo il processo $(Y_n)_(n in NN_0)$, definito come:
$Y_n := sigma_n Z_n$, $n ge 0$ dove
$sigma_0 in (0,infty)$ e $sigma_n^2 := alpha_0 + alpha_1 sigma_(n-1)^2 + beta_1 Y_(n-1)^2$, $alpha_0, alpha_1, beta_1 >0$

Definiamo poi una catena di $sigma$-algebre $(F_n)_{n in NN_0}$ in questo modo:
$F_n := sigma(Y_0, Y_1, ..., Y_n)$

Devo dimostrare che
$E[Y_n | F_(n-1)] = 0$ $P$-a.s e che
$Var[ Y_n | F_(n-1)] = sigma_n^2$ $P$-a.s.

Per il primo caso, arrivo a dire che:
$E[ Y_n | F_(n-1) ] = sigma_n E[ Z_n | F_(n-1) ]$
e nel secondo
$Var[ Y_n | F_(n-1) ] = sigma_n^2 E[ Z_n^2 | F_(n-1) ]$

Dimostrando quel che ho detto prima, segue la tesi, ma come si fa, in un modo matematico, ma soprattutto, pulito?

Grazie!

[Andrea2976]

Visto che si vuol utilizzare l'indipendenza di $Z_n$ dalla $sigma$-algebra $F_{n-1}$, basta sfruttare il fatto che in generale una v.a. è indipendente
da una $sigma$-algebra se e solo se è indipendente da tutte le v.a. aleatorie misurabili rispetto alla suddetta $sigma$-algebra, che nel tuo caso segue dalle ipotesi (le $Z_n$ sono indipendenti e quindi lo stesso vale per le $sigma$-algebre generate).

Per il modello GARCH rimane solo da fare qualche conto.