Valore atteso condizionato

[mobley]

Ho $X~ U(0,1)$ e $Y|X~ U(-x^2,x^2)$.
a) Calcola la densità congiunta di $(X,Y)$. -> $f(x,y)=1/(2x^2)$
b) Calcola la densità condizionata di $X|Y$. -> $f_(X|Y)(x|y)=(\sqrt(|y|))/(x^2(1-\sqrt(|y|)))$
3) Calcola $E[Y]$ e $Var[Y]$.
Qui sono in difficoltà. Applicando la definizione non riesco a svolgere il seguente integrale:

$E[Y|X]=1/x^2\int_(-x^2)^(x^2)(y\sqrt(|y|))/(1-\sqrt(|y|))$

Dove sto sbagliando?

[Lo_zio_Tom]

"mobley":
Dove sto sbagliando?

:

$Y|X$ è una uniforme....$x$ ora è un parametro....e quindi media e varianza li calcoli come noto

$E[Y|X]=(a+b)/2=(-x^2+x^2)/2=0$

$E[Y^2|X]=(b-a)^2/12=(2x^2)^2/12=x^4/3$

$E[Y]=E[E[Y|X]]=E[0]=0$

$V[Y]=E[Y^2]=E[E[Y^2|X]]=E[(2x^2)^2/12]=E[X^4/3]=1/3E[X^4]=1/3 int_0^1 x^4dx=1/15$

Il resto non l'ho guardato

EDIT:

Ho guardato anche il resto....un macello.

In a) e b) mancano le indicazioni di tutti i supporti delle variabili ( li sai e non li scrivi perché sottintesi o non li sai? Questo lo devi sapere tu...io rilevo solo quanto postato)

Hai tentato di calcolare $E(Y|X)$ usando la densità $f(x|y)$

[Opinione Personale] Sembra il compito di uno che non ha ancora iniziato a studiare la teoria....

Per autoverifficare se sai calcolare il dominio congiunto prova col seguente esempio (non serve postare la soluzione, è solo un test per vedere se hai capito l'argomento o se lo devi riprendere):

Prendiamo il solito esercizio che hai fatto diverse volte: date $X,Y$ iid uniformi in $(0;1)$ calcolare la densità di $Z=X+Y$ usando il teorema fondamentale di trasformazione. Come sai si pone $W=X$ e si inizia a calcolare la congiunta (senza fare conti, le funzioni sono tutte lineari quindi lo jacobiano viene 1)

$f_(ZW)(z;w)=mathbb{1}_((?;?))(z)mathbb{1}_((?;?))(w)$

Se hai capito il problema dovresti essere in grado di dire anche DOVE è definita $f(z;w)=1$ e quindi dovresti essere in grado di scriverla per bene, usando opportunamente le funzioni indicatrici. Se non riesci vuol dire che l'argomento delle trasformazioni ancora non lo hai capito