Valor medio somma v.a.

[gretch1767]

Ciao a tutti, vi pongo questo quesito di cui non trovo soluzione:

Consideriamo un dado regolare a 6 facce e un mazzo di 8 carte numerate da 1 a 8 e disposte in ordine casuale. Viene lanciato il dado, se il risultato N del lancio è dispari viene girata la prima carta del mazzo, se invece N è pari vengono girate le prime due carte del mazzo. Sia X1 il valore della prima carta girata e sia eventualmente X2 il valore della seconda carte girata, sia infine S la somma delle carte girate, ovvero:

\( S =\begin{cases} X1, se N è dispari \\ X1+X2, se N è pari \end{cases} \).
Calcolare il valore atteso di S.

Allora:
\( E(S)= E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) \)

$ E(X1)=(1/8)sum_(n = 1) ^8 ((n(n+1))/2)=9/2 $

$ E(X2)=(1/8)sum_(n = 1)^8((n(n+1))/2)=9/2 $ , la probabilità è pari a $ 1/8 $ in quanto:

$ P(X2=x)=P(X2=x|X1!= x)*P(X1!=x)=1/7*7/8=1/8 $

quindi: \( E(S)= E(X1+X2)=E(X1)+E(X2) \) $ =9/2+9/2=9 $ , tuttavia il risultato del libro è $ 27/4 $, dov'è l'errore?

Come al solito grazie per la disponibilità!

[Lo_zio_Tom]

molto ma molto semplicemente così:

$X_i -={{: ( 1 , 2 , ... , 8 ),( 1/8, 1/8 , ... , 1/8 ) :}$

$E[X_i]=4.5$

$X=X_1$

$Y=X_1+X_2$


$E=(E[X])/2+(E[Y])/2=(4.5)/2+9/2=9/4+9/2=27/4$

fine

[gretch1767]

Ah quindi dovevo considerare la probabilità con cui poteva assumere o il valore $ X1 $ o il valore $ X1+X2 $, dato il quesito l'avevo letta come se si assumesse che $ S =X1 + X2 $; come al solito grande Tommik!!!